Consideriamo il seguente problema: "In tutte le villette a schiera di recente costruzione del nuovo quartiere Stella, vi è un terreno rettangolare di larghezza $12 \text{ m}$ e lunghezza $25 \text{ m}$. Quanto misura la superficie del terreno?"
Il prodotto delle dimensioni rappresenta la misura richiesta: $S=(25 \cdot 12) m^2 =300 m^2 $. Il semplice problema che abbiamo risolto è relativo a un caso particolare: quel terreno con quelle dimensioni.
Ma se le dimensioni fossero diverse? Possiamo generalizzare il nostro risultato particolare, sostituendo ai numeri specifici delle lettere: la procedura per determinare la misura della superficie infatti è sempre la stessa e la possiamo esprimere con una formula $A=b \cdot h$, nella quale abbiamo indicato con $b$ la misura di una dimensione e con $h$ la misura dell’altra dimensione, assegnate rispetto alla stessa unità di misura. La formula ha carattere generale: essa serve ogniqualvolta si chiede di determinare la superficie di un rettangolo, essendo note le misure delle dimensioni (base e altezza) rispetto alla stessa unità di misura. Questo è uno dei benefici del calcolo letterale.
In geometria si utilizzano tantissime formule che ci permettono di determinare perimetro e area delle figure piane, superficie laterale e totale e volume dei solidi. Nelle formule le lettere sostituiscono le misure di determinate grandezze, tipiche di quella figura o di quel solido.
Un’espressione letterale o espressione algebrica è uno schema di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni.
Per scrivere un’espressione letterale ci si deve attenere a regole precise, quelle stesse che utilizziamo per scrivere espressioni numeriche. Per esempio, la scrittura $3 \cdot 4+$ non è corretta, in quanto il simbolo $+$ dell’addizione deve essere seguito da un altro numero per completare l’operazione. Analogamente non è corretta l’espressione letterale $a \cdot c+$.
Come nelle espressioni numeriche, anche nelle espressioni letterali le parentesi indicano la priorità di certe operazioni rispetto ad altre. La formula $a \cdot (x+y)$ specifica “il prodotto di un numero per la somma di altri due” . Essa è diversa da $a \cdot x + y$, che rappresenta “la somma del prodotto di due numeri con un terzo numero”.
Oltre che per esprimere formule, si possono usare espressioni letterali per esprimere le proprietà delle operazioni e relazioni tra numeri: si usano le lettere per indicare che esse valgono per numeri qualsiasi. La scrittura $(a+b)+c=a+(b+c)$ esprime la proprietà associativa dell’addizione. In essa le lettere $a$, $b$, $c$ indicano numeri qualsiasi. I due schemi di calcolo ci dicono che per sommare tre numeri, è indifferente aggiungere alla somma dei primi due il terzo, cioè $(a+b)+c$, oppure aggiungere al primo la somma degli altri due, cioè $a+(b+c)$.
Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere che vi compaiono sostituiscono numeri. L’espressione letterale $2\cdot x^2+x$ traduce una catena di istruzioni che a parole sono così descritte: “prendi un numero; fanne il quadrato; raddoppia quanto ottenuto; aggiungi al risultato il numero preso inizialmente”. Questa catena di istruzioni può essere usata per istruire un esecutore a “calcolare” l’espressione letterale quando al posto della lettera $x$ si sostituisce un numero. Più brevemente possiamo scrivere $5$ nell’espressione letterale al posto di $x$: otteniamo l’espressione numerica $2\cdot5^2+5$ il cui risultato è $55$.
In un’espressione letterale le lettere rappresentano le variabili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. Chiamiamo valore di un’espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicate dallo schema di calcolo quando alle lettere (cioè alle variabili) sostituiamo un numero. Il valore dell’espressione letterale dipende dal valore assegnato alle sue variabili (cioè il valore che assegniamo alle lettere).