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Platone e l’Accademia

Agli occhi degli antichi, Platone appare come l’architetto che organizza e dirige il lavoro dei matematici. Oggi appare dubbia la tradizione che gli attribuisce la paternità di scoperte, come quella degli irrazionali o dell’analisi. Di sicuro, però, egli si confronta con la matematica del suo tempo: ne subisce l’influsso e al tempo stesso l’influenza, discutendo i suoi fondamenti, il suo oggetto, il suo scopo. Non a caso la sua scuola, l’Accademia, è un punto di riferimento per figure come Teodoro di Cirene, Teeteto, Eudosso.

Platone architetto delle matematiche

“Nessuno entri, che non sia geometra”, queste parole dovevano essere scritte sul frontone dell’Accademia, la scuola di Platone. Se, come sembra, si tratta di un’invenzione dovuta a fonti tarde, è un’invenzione ben studiata. Essa esprime bene diversi motivi. Intanto, sancisce il ruolo della geometria come modello privilegiato al quale ricondurre le diverse matematiche. Inoltre, coglie il grande interesse di Platone per queste discipline. Infine conferma che l’Accademia è un centro d’attrazione per i matematici dell’epoca.

Per Eudemo, Platone ha il merito di incrementare al massimo le matematiche e la geometria e questo per il grande amore nei loro confronti. Sempre a Eudemo risale con molta probabilità un passo del cosiddetto Index Academicorum di Filodemo, in cui Platone è presentato come l’architetto dello sviluppo delle matematiche, colui che pone i problemi intorno ai quali gli specialisti indagano con zelo. Sarà opportuno partire proprio da questa immagine per comprendere l’influsso da lui esercitato in questo campo. Il senso generale è chiaro: Platone è architetto perché sa dirigere e organizzare i lavori dei matematici. Rimane più difficile invece capire a quale titolo sia possibile riconoscergli tale ruolo.

L’interpretazione forse più immediata, di sicuro la più forte, è quella che considera il Platone architetto alla stregua di un grande matematico capace di aprire vie di ricerca originali, lungo le quali poi si muovono gli altri. In questo senso, d’altra parte, la tradizione gli attribuisce più di un merito: la scoperta degli irrazionali e quella dei cinque solidi regolari; gli studi sulla sezione e quelli sull’analisi; l’invenzione di un metodo per trovare triangoli rettangoli razionali e addirittura quella di un procedimento meccanico per raddoppiare il cubo. In effetti, per dirla con Eudemo, i suoi dialoghi sono pieni di ragionamenti matematici; è evidente però che essi sono l’eco di scoperte realizzate da altri e non il risultato di indagini condotte in prima persona. Sembrerebbe semmai più plausibile intendere l’architetto di Filodemo alla luce di quanto Socrate, nel VII libro della Repubblica, osserva a proposito della stereometria, cioè lo studio della geometria solida (528b-c). I matematici non le dedicano l’attenzione che invece essa merita: questo è dovuto in parte al fatto che si tratta di questioni in sé difficili da investigare, in parte al fatto che manca un maestro, sotto la cui guida indagare i problemi con continuità e intensità (528b-c). Insomma, Platone sta delineando qui la figura di quello che, in termini moderni, si potrebbe indicare come il direttore di un gruppo di ricerca, che guida gli specialisti e ne organizza i lavori. Va però tenuto ben presente che qui ci muoviamo nell’ambito della cosiddetta dianoia, la ragione discorsiva: un ruolo del genere si addice allora molto bene a un matematico come Eudosso; il livello in cui Platone si pone è però un altro, è il livello della dialettica.

Matematiche e dialettica

L’interesse di Platone per le matematiche matura all’interno di una riflessione di più vasto respiro sulla relazione fra scienza, tecnica, empiria. Fin dai primi dialoghi, le tecniche si presentano come il modello della vera conoscenza, da contrapporre al preteso sapere dei poeti e dei sofisti.

Loro punti di forza sono la capacità di circoscrivere il proprio oggetto specifico e, insieme, rendere ragione delle procedure impiegate. Probabilmente è a seguito dell’incontro con Archita e il pitagorismo che l’attenzione di Platone viene a focalizzarsi su un gruppo particolare di tecniche, quelle matematiche. In questa direzione è importante un passo del Gorgia, nel quale si ricorre al linguaggio dei geometri per illustrare con una proporzione la differenza fra le arti volte al bene e quelle volte al piacere: come la cosmetica sta alla ginnastica, così la sofistica sta alla legislazione e come la culinaria sta alla medicina, così la retorica sta alla giustizia (Gorgia, 465b-c). E importante è pure il passo del Menone, che abbiamo già ricordato più sopra: il metodo per problemi seguito per raddoppiare il quadrato costituisce la via privilegiata da seguire per dare risposta alla questione dell’insegnabilità della virtù.

Le tecniche hanno però un limite intrinseco nella misura in cui ognuna tende a organizzare il suo ambito come un sistema chiuso e autosufficiente. Questo emerge con chiarezza nell’Eutidemo e proprio in relazione alle matematiche. Il cacciatore e anche il pescatore sono abili a catturare le loro prede, ma poi non sanno cosa farne e, dunque, le consegnano a chi è capace di manipolarle opportunamente, il cuoco. Allo stesso modo, se non sono privi di senno, devono comportarsi i geometri, gli astronomi, i maestri di calcolo. Con le loro indagini giungono a certi risultati, ma poi anche loro devono affidarli ai dialettici, perchè costoro ne facciano l’uso opportuno. Prende qui forma l’esigenza di un sapere più alto che superi i limiti delle singole tecniche, un sapere che sappia individuarne la ragione più profonda (Eutidemo, 290b-c). La via che conduce alla Repubblica è così delineata.

La matematica nella Repubblica

Nella teoria della linea, le discipline matematiche preparano a contemplare le idee e cogliere il sommo Bene: l’aritmetica “sospinge energicamente l’anima in alto” (525d); la geometria “attirerà l’anima alla verità” (527b); l’astronomia è studio che conduce oltre “gli ornamenti disposti nel cielo” (529d); l’armonia si deve studiare “per la ricerca del Bello e del Bene” (531c). Qui c’è la critica al modo in cui agricoltori, generali, mercanti si servono delle matematiche, badando all’utilità pratica che ne deriva. Ma c’è anche la critica a quanti ne fanno una “filosofia”, secondo il termine qui adoperato da Socrate nel senso di un sapere autonomo e chiuso in se stesso.

I matematici, osserva Platone, procedono a partire da ipotesi: il pari e il dispari, le figure, le tre specie di angoli. Non è affatto chiaro in che modo gli esempi portati siano da intendersi, se come concetti o come possibilità di realizzare determinate costruzioni o come presupposti di esistenza o come definizioni che comprendono a loro volta una definizione. Tale incertezza è dovuta probabilmente al fatto che all’epoca fra gli stessi matematici vi fossero opinioni diverse al proposito. Più chiara invece risulta la descrizione della loro procedura: assumono le ipotesi come principi evidenti a ognuno, senza curarsi di renderne ragione, e da esse muovono per svolgere le argomentazioni e finire a ciò che si erano mossi a cercare. Quest’impiego delle ipotesi è per Platone un limite. Il dialettico, invece, usa le ipotesi per ciò che realmente sono, punti di appoggio e di slancio verso il grado superiore di conoscenza, quello del nous, dell’apprensione intellettuale immediata: è un processo “ascensivo”, una “via all’insù”, la quale conduce fino al principio che non è per nulla ipotetico, ma costituisce il fondamento e la garanzia di ogni sapere (511b). Solo così si realizza la vera scienza, quella capace di comprendere ciò che ciascuna cosa è, mentre le matematiche colgono sì qualcosa del vero essere, ma come in un sogno senza lucidità e alla fine realizzano un semplice accordo convenzionale tra gli interlocutori (533b-c).

Le matematiche hanno per Platone un altro limite. “Quadrare”, “costruire su una linea data”, “aggiungere per apposizione”: questo è un modo ridicolissimo di esprimersi, così come è ridicolo voler cogliere nelle figure geometriche “il vero concetto dell’uguale o del doppio o di qualsiasi altro rapporto”. Proprio in quegli anni, del resto, Protagora confuta i geometri, osservando che il circolo sensibile non tocca la tangente in un punto solo. E tuttavia, Socrate sa che l’uso di immagini sensibili e di procedimenti di costruzione è connaturato in un certo qual modo alla geometria, in quanto rende possibile vedere ciò che può essere colto solo attraverso la ragione discorsiva. Allora, il punto è tenere ben fermo che quando gli esperti parlano della diagonale, in realtà si riferiscono alla diagonale in sé che ha esistenza separata e indipendente da quella tracciata. Per dirla con Bertrand Russell, noi scopriamo le matematiche nello stesso senso in cui Colombo ha scoperto gli Indiani d’America e non creiamo i suoi oggetti più di quanto egli ha creato gli Indiani. Questa forma di realismo nella moderna filosofia della matematica prende proprio il nome da Platone: è il platonismo.

Dunque, nella prospettiva platonica il dialettico finisce per esercitare un controllo teorico e una funzione di indirizzo sul matematico: spetta al dialettico controllare le ipotesi e darne ragione, così che in ultima analisi è lui a determinare i problemi stessi da indagare, stabilendo in via preliminare quali condizioni debbano essere soddisfatte perché la soluzione sia accettabile. Ecco allora Platone che invita gli astronomi a indagare le traiettorie irregolari dei pianeti, per ricondurle alla combinazione di movimenti uniformi e regolari. Platone, che è il solo a capire come l’invito dell’oracolo di Delo a raddoppiare l’altare del dio è un invito a migliorare, attraverso lo studio della geometria, la vita morale e politica. Platone, che indica la soluzione del raddoppio del cubo nel rapporto fra due medie proporzionali; ritiene Eudosso ed Elicone di Cizico i più capaci a calcolare tale relazione; critica la soluzione di Archita, Eudosso e Menecmo per l’impiego di strumenti meccanici. Ecco insomma Platone che svolge le funzioni di architetto e pone problemi, intorno ai quali indagano gli specialisti.

Per questo suo ruolo di architetto, Platone viene ora salutato come un profondo riformatore delle matematiche, ora criticato come un pericoloso ostacolo al loro sviluppo. Dietro a queste affermazioni si riconoscono facilmente due tesi, che puntualmente tornano a essere proposte con alterna fortuna: la scienza deve i suoi progressi agli sviluppi della filosofia; le speculazioni filosofiche non rivestono alcun interesse per la scienza, che anzi avanza solo affermando la propria autonomia e distinguendosi nettamente da ciò che scienza non è. Entrambe le posizioni introducono una semplificazione, che appare eccessiva già da un punto di vista più generale e che, per quanto riguarda il V-IV secolo a.C., pone ancora più dubbi. Il fatto è che in questo periodo le nozioni di filosofia, scienza, tecnica, fisica, matematica individuano campi che non sono ancora ben distinti l’uno rispetto all’altro: campi che si sovrappongono, in cui vengono a contatto punti di vista e metodi differenti, con regole e divieti non ancora rigidamente fissati. Proprio l’Accademia ci offre un esempio significativo di tale situazione.

I matematici nell’Accademia

Ancora oggi la vera natura della scuola di Platone rimane un enigma: associazione religiosa, scuola politica, centro di ricerche teoretiche e di indagini naturalistiche. Per i discepoli di Platone, le matematiche costituiscono un riferimento essenziale nelle discussioni di natura filosofica intorno all’essere e alla realtà (la dottrina dei principi, per fare un esempio, ma anche lo status degli enti matematici e l’esistenza delle linee insecabili). Ma il punto per noi più interessante è che l’Accademia costituisce un polo d’attrazione per i matematici dell’epoca, che vi si ritrovano insieme a svolgere le loro ricerche. Eudemo ricorda a questo proposito Leodamante di Taso, Leone, Amicla di Eraclea, Menecmo, Dinostrato, Ateneo di Cizico, Ermotino di Colofone, Filippo di Mende: fra costoro spiccano Teeteto ed Eudosso. Il primo riprende e perfeziona gli studi sulle grandezze irrazionali.

Mentre Teodoro (V sec. a.C.) prendeva in esame i singoli casi a partire dalla radice quadrata di 3 fino alla radice quadrata di 17, Teeteto elabora una dimostrazione generale, valida per la radice quadrata di qualsiasi numero intero che non sia un quadrato perfetto: probabilmente Euclide compone il libro X degli Elementi proprio servendosi dei suoi risultati. Sappiamo inoltre che affronta la costruzione dei cinque solidi regolari, quelli che nel Timeo Platone adatta alla propria immagine dell’universo: il cubo è associato all’elemento della terra, l’icosaedro all’acqua, l’ottaedro all’aria, il tetraedro al fuoco, mentre con il dodecaedro il Demiurgo decora l’universo. Euclide ne tratta nel XIII libro, basandosi sulla classificazione degli irrazionali e questo fa pensare che la sua fonte sia anche qui Teeteto.

Per quanto riguarda Eudosso, le fonti descrivono in maniera discorde il suo rapporto con Platone: alcune lo indicano come suo discepolo, altre come compagno o familiare o addirittura maestro, altre ancora parlano di una certa ostilità fra i due. Non ci è pervenuta alcuna sua opera di geometria, ma le testimonianze gli attribuiscono lo studio della sezione aurea e della duplicazione del cubo, che avrebbe ottenuto tramite linee curve e procedimenti meccanici. Alcuni scolii a Euclide, poi, permettono di ricondurre ai suoi lavori alcune rilevanti parti degli Elementi: il V libro, con la dimostrazione rigorosa della teoria delle proporzioni valida per le grandezze commensurabili e incommensurabili; il XII, con il metodo di esaustione applicato alle aree e ai volumi delle figure curvilinee.

Non abbiamo informazioni più precise su come di fatto i matematici menzionati da Eudemo conducessero le loro indagini, né tanto meno su come essi stessi concepissero la propria presenza nella scuola di Platone. Come già osservato, è difficile credere che egli abbia portato un contributo alla pratica effettiva delle matematiche. Ancor più difficile è pensare che abbia davvero di che insegnare da un punto di vista più tecnico a figure del calibro di un Teeteto o di un Eudosso. Ugualmente, è difficile ritenere che eserciti un’influenza profondamente innovatrice nel determinare le linee generali, alle quali i matematici si sarebbero poi scrupolosamente attenuti. Piuttosto è da ritenere che egli abbia una sicura conoscenza dei risultati delle indagini particolari e ne discuta con gli specialisti, cercando il senso più profondo di calcoli e misure, ponendosi e ponendo loro domande che oggi diremmo di secondo livello, domande cioè sulle caratteristiche delle discipline matematiche, sui principi e le procedure, sui punti di forza e i limiti.


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