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Talete e la questione delle origini

I primi documenti matematici risalgono alle più antiche civiltà della Mesopotamia e dell’Egitto; l’esatta natura delle loro conoscenze è ancora oggi in discussione, ma è evidente l’interesse per le applicazioni pratiche della matematica e insieme per gli aspetti di carattere mistico. È in Grecia che le matematiche si affermano come una forma di sapere teoretico, libero da preoccupazioni empiriche. La figura di Talete è paradigmatica: primo ad aver introdotto la geometria dall’Egitto, egli porta anche un contributo personale allo sviluppo di questa disciplina, studiando alcuni problemi in modo più generale e altri in modo più pratico.

Talete padre della geometria

Eudemo attribuisce a Talete di Mileto il merito di aver introdotto la geometria dall’Egitto in Grecia: egli le avrebbe dato impulso, facendo molte scoperte di persona e indicando i principi ai suoi successori, trattando alcune cose da un punto di vista più generale e altre in maniera più empirica. Non è detto in che modo egli intendesse questa generalizzazione, ma una tradizione consolidata indica Talete come il padre della geometria ipotetico-deduttiva in senso euclideo. La questione non è però così pacifica.

In effetti, Proclo riporta da Eudemo una serie di notizie che dovrebbero avvalorare il ruolo di Talete. Egli avrebbe dimostrato per primo che il diametro divide il cerchio in due parti, e questo avvalora senza dubbio la tesi tradizionale (in Eucl., p. 157, Friedlein). Avrebbe anche stabilito che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, ma si sarebbe espresso ancora in termini arcaici di similitudine (ivi, p. 250). Ancora, avrebbe scoperto il teorema sull’uguaglianza degli angoli opposti al vertice (ivi, p. 299). Inoltre egli conoscerebbe quello che per noi è il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli e questo perché si tratta di un presupposto teorico per il metodo di cui si sarebbe servito per calcolare la distanza di una nave in mare (ivi, p. 352). Infine, va ricordata la tradizione secondo cui si sarebbe impegnato nella soluzione di un altro problema specifico: calcolare l’altezza di una piramide mediante l’ombra da essa proiettata.

Dunque, nel complesso appare difficile credere che a Talete siano davvero in qualche modo familiari concezioni che appartengono invece agli sviluppi successivi della geometria. Per esempio, l’idea di dimostrazione, che implica la deduzione da postulati e teoremi più semplici o il concetto astratto di proporzionalità su cui si basa il teorema universalmente conosciuto con il suo nome. Lo stesso Proclo del resto, a proposito del teorema sugli angoli opposti, precisa che è Euclide a darne la dimostrazione. È evidente poi l’inferenza secondo cui Eudemo conclude che Talete conosca già un principio che solo più tardi sarebbe risultato alla base di una sua procedura pratica. Piuttosto, le sue nozioni devono essere intese alla luce delle conoscenze degli Egizi, che egli avrebbe appunto introdotto in Grecia. Si pone qui il problema più generale delle origini della matematica, problema strettamente intrecciato con quello del rapporto tra Grecia e Vicino Oriente. Il tema è al centro di accese controversie già fra gli antichi; in tempi moderni ha finito spesso per risolversi nella contrapposizione fra due posizioni estreme: da una parte la tesi del “miracolo greco”, frutto irripetibile del genio ellenico; dall’altra la convinzione che i Greci siano largamente debitori alle conquiste ottenute dalle vicine civiltà e che ex Oriente lux. Proprio l’esame delle conoscenze matematiche ci permette di uscire da questa rigida alternativa.

Il rapporto con la matematica orientale

Erodoto fa risalire agli Egizi l’invenzione della geometria, ai Babilonesi quella della meridiana, dello gnomone e della suddivisione del giorno in 12 parti (II, 109). In particolare si sofferma a raccontare le origini della geometria. Il faraone Sesostri aveva diviso la terra fra tutti gli Egizi in parti uguali, su cui annualmente riscuoteva le imposte. A seguito delle erosioni prodotte dal corso del Nilo, il danneggiato segnalava l’accaduto e intervenivano dei funzionari per misurare di quanto il terreno si fosse ridotto e ricalcolare l’imposta dovuta. Questo, conclude Erodoto, ha condotto alla nascita della geometria, che successivamente è stata introdotta in Grecia.

Nel suo Riassunto dei geometri, Eudemo riprende il resoconto di Erodoto, drammatizzando i danni prodotti dal fiume: al posto delle erosioni, egli parla delle periodiche piene che cancellano tutte le proprietà. Il senso però rimane immutato: come il nome stesso indica, la geometria nasce dalla necessità pratica di misurare la Terra.

Allo stesso modo, aggiunge Eudemo, la conoscenza dei numeri ha origine presso i Fenici per via delle attività commerciali. Già Platone, del resto, fa riferimento agli interessi di natura pratica da cui questi popoli sono animati. Come altri Greci, egli guarda in generale con grande ammirazione al profondo e antico sapere di cui gli Egizi sono depositari: fra l’altro, attribuisce loro proprio l’invenzione dei numeri, del calcolo, della geometria e dell’astronomia, collocandola nel tempo remotissimo del mito al dio Theuth (Fedro, 274c). Tuttavia egli critica anche con accenti aspri sia i Fenici sia gli Egizi, dal momento che a causa del desiderio smodato di ricchezza hanno finito con lo stravolgere la corretta azione formativa delle matematiche (Rep.436a; Leg.747c)

La documentazione diretta di cui disponiamo conferma nelle linee generali queste testimonianze. Papiri e tavolette ci hanno restituito una gran quantità di testi, dai quali emergono – oltre le caratteristiche specifiche – certi aspetti comuni fra la matematica egizia e quella dei popoli mesopotamici. Si tratta di procedure di calcolo e di tecniche di misurazione non solo di natura elementare, ma anche molto sofisticate. Esse rispondono alle necessità di ordine pratico connesse al funzionamento stesso dei due grandi apparati statuali. Troviamo così calcoli rivolti a risolvere problemi particolari, legati alle esigenze dell’edilizia e dell’amministrazione: volumi di piramidi, angoli di canali, quantità di mano d’opera, distribuzioni di vettovaglie, divisioni di beni, interessi su prestiti, rendimenti di campi… Mancano invece quelle caratteristiche che fanno della matematica una forma di conoscenza superiore al semplice calcolare e misurare. Spesso i risultati sono approssimativi, mentre non c’è evidenza di teoremi e regole di carattere più generale. Non c’è evidenza neppure di una riflessione sulle proprietà generali di numeri e figure né sulle condizioni di risoluzione dei problemi.

Quanto fin qui visto sembrerebbe dare ragione a chi contrappone radicalmente la matematica applicata di Egizi e Babilonesi alla matematica pura dei Greci. Fermi restando i limiti indicati, sono tuttavia da considerare anche altri aspetti, che rendono il quadro più complesso. Fonti sia egizie sia babilonesi riferiscono esercizi che, pur riferendosi a casi concreti, hanno il carattere di gioco o di speculazione. Testi babilonesi presentano problemi organizzati con un certo metodo, secondo un ordine progressivo di complessità e procedure di verifica, anche se naturalmente diversi dalla nozione euclidea di dimostrazione. E presentano alcuni contenuti che richiamano il teorema di Talete e quello di Pitagora, le lunule di Ippocrate, i volumi delle piramidi trattati da Euclide nel libro XII degli Elementi, alcuni risultati e metodi più tardi di Erone e Diofanto. D’altra parte, per gli stessi Greci la matematica egizia non è solo orientata verso la pratica.

Isocrate racconta che, nella costituzione data da Busiride agli Egizi, gli uomini sono destinati agli affari, mentre i giovani devono trascurare i piaceri per dedicarsi allo studio dell’astronomia, del calcolo e della geometria. Queste discipline sono lodate da una parte per la loro utilità pratica, dall’altra come mezzo per il conseguimento della virtù (Busir. 23). Anche Aristotele ha presente che la matematica egizia non è solo legata all’attività pratica. Nelle pagine iniziali della Metafisica, descrive l’evoluzione delle tecniche a iniziare da quelle atte alla sopravvivenza. Soddisfatti i bisogni immediati, vengono sviluppate le arti che permettono di vivere piacevolmente; da ultimo sono scoperte le scienze che non hanno altro fine che non il sapere stesso e ciò accade là dove gli uomini sono liberi da occupazioni di carattere pratico. Per questo, conclude Aristotele, le arti matematiche hanno avuto origine in Egitto, dove alla casta dei sacerdoti era riconosciuta tale libertà (Metafisica, I, 1).

Si può dunque ripetere per i matematici orientali quanto Eudemo afferma su Talete: trattano alcune cose in modo più empirico e altre da un punto di vista più generale. Si potrebbe compilare una lunga lista delle conoscenze matematiche che i Greci hanno acquisito dagli Egizi e, probabilmente in parte per loro tramite, dai popoli mesopotamici: i sistemi di numerazione per esempio, le quattro operazioni semplici, le potenze e le radici, le equazioni algebriche, le aree, i volumi elementari… Il punto però è un altro. Come avviene per ogni scambio culturale, i Greci non si sono limitati a recepire passivamente quelle conoscenze, ma le hanno rielaborate in maniera profonda. Grazie alla loro riflessione, la matematica si svincola dalle necessità della pratica e conquista pienamente la dimensione del sapere teoretico, il sapere che ha in sé il proprio fine – secondo le parole di Aristotele –, il sapere libero, come libero è l’uomo che esiste in vista di sé e non di un altro (Metafisica, I, 2). In questo processo un ruolo fondamentale è svolto dai pitagorici.


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