Assioma dell'induzione

Qualcuno può spiegarmi il procedimento del passo induttivo per favore,grazie in anticipo...


il 17 Ottobre 2016, da Danilo Casano

Giovanni Barazzetta il 27 Dicembre 2016 ha risposto:

Ciao Danilo! Per dimostrare qualcosa usando il principio di induzione bisogna fare essenzialmente due cose. Innanzitutto, avere una proprietà, una frase, un'asserzione, insomma qualcosa (la chiamiamo $P$) che può valere o non valere per numeri naturali. Poi, per primo, occorre dimostrare che la nostra $P$ è valida per almeno un caso, diciamo il caso "0"; per secondo bisogna dimostrare che, se assumiamo che $P$ valga per tutti i numeri, dal caso che abbiamo scovato, sino ad un numero fissato $n$, è vera per il numero $n + 1$. Questo secondo passaggio si chiama "passaggio induttivo". Non c'è un modo generale per "risolverlo", perché, caso per caso, bisogna andare a vedere l'asserzione specifica: se ci fosse un modo generale di risolverlo per tutte le proposizioni, allora tutto sarebbe vero, anche frasi palesemente false tipo "i numeri che finiscono per 2 son tutti divisibili per 7". Ti segnalo che il principio di induzione è una parte fondamentale della nostra aritmetica: senza di esso, non riusciremmo a fare un gran ché. Esso asserisce che ogni sottoinsieme dei numeri naturali che contiene lo zero (il caso zero di prima) e il successore di ogni proprio elemento (il passo induttivo) contiene l'intero insieme dei numeri naturali. Spero sia tutto chiaro! Se hai domande o dubbi, chiedi pure! Ciao e buone feste :D