Calcolo dei limiti (forme indeterminate)

Ciao Diana! Riscrivo il limite che hai proposto: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2}{3-3x^2} \cdot \left ( \sqrt{2-x} - 1 \right )$$A proposito: per scrivere le formule in modo “bello” utilizziamo LaTeX, dato che il nostro sito supporta questo “linguaggio”. Non è semplicissimo da utilizzare le prime volte, ma può dare soddisfazioni :) Ti linko la documentazione relativa ai comandi supportati sul nostro sito: http://docs.mathjax.org/en/latest/tex.html. Detto questo veniamo al limite: mi piacerebbe darti dei consigli su come affrontarlo piuttosto che risolverlo e basta (se no non serve a niente!). Guardando la funzione di cui vogliamo calcolare il limite ci si accorge che il termine $\left ( \sqrt{2-x} - 1 \right )$ è molto simile al numeratore del limite notevole $$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$$che puoi trovare spiegato e dimostrato qui: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. In effetti, dopo alcune manipolazioni algebriche, ci si accorge che la funzione di cui stiamo calcolando il limite può essere riscritta così: $$\frac{2x^2}{3(1+x)} \cdot \frac{\left ( 1 + \left ( 1-x \right ) \right )^{\frac{1}{2}} - 1}{1-x}$$Ti invito a provare a verificare questo fatto! Dopodiché è sufficiente applicare il limite notevole e sostituire $x=1$ in tutti gli altri termini per ottenere che il limite è uguale a $\frac{1}{6}$. Fammi sapere se trovi qualche intoppo nel procedimento :) Buona giornata!

Ciao Michele, grazie ancora una volta per avermi risposto! Ho capito benissimo quello che tu hai spiegato. Questo esercizio va risolto senza utilizzare però i limiti notevoli. Mi sto preparando per un esame ed è vero che so qualcosa sui limiti notevoli ma come argomento viene affrontato un pochino dopo dunque sto cercando di seguire l'ordine del libro e risolverlo senza i limiti notevoli anche per prendere un pò la mano con i calcoli!. Dunque io ho cercato di raccogliere x^2 nel primo termine sia al numeratore che al denominatore per poter semplificare questo x^2 ma non mi aiuta a molto. Ho provato anche a moltiplicare il secondo termine per la sua somma [(cioè per radice di 2-x) +1)] in modo da arrivare ad una differenza di due quadrati e togliere così la radice quadrata ma anche questo (a meno che non abbia sbagliato i calcoli) non mi ha portato a molto perchè mi è rimasta poi la radice quadrata al denominatore! Insomma! Non ne esco fuori e volevo appunto risolverlo senza l'utilizzo dei limiti notevoli su cui vi farò migliaia di domande i giorni prossimi :D Grazie ancora per il tempo dedicato e grazie per il link di LaTex, vado subito a dare un'occhiata! - Diana Istrate 18 Novembre 2015

Ciao di nuovo :) ti dico che il secondo procedimento che hai adottato per risolvere questo limite senza limiti notevoli è giusto: bisogna moltiplicare numeratore e denominatore per $\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )$, e poi fare i dovuti "trucchi" per cercare di semplificare l'espressione il più possibile. Seguendo questo procedimento il limite mi è venuto. Ricontrolla i conti, quindi :D Fammi sapere! - Michele Ferrari 19 Novembre 2015