calcolo di un limite (svolgimento)
Limx->o (cosx+senx/cosx)^1/x
il 21 Settembre 2015, da Emilia Milazzo
Ciao Emilia! Spero di aver capito bene il testo del tuo limite... io l’ho inteso così: $$\lim_{x \to 0} \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right )^{\frac{1}{x}}$$Per lavorare su questo limite bisogna per prima cosa fare questo trucchetto algebrico: ##KATEX##\begin{aligned} \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right )^{\frac{1}{x}} & = e^{\frac{1}{x} \cdot \ln \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right )} = \\ & = e^{\frac{ \ln \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right )}{x}} \end{aligned}##KATEX##Adesso possiamo lavorare direttamente sull’esponente. Quello che dobbiamo fare è, sostanzialmente, applicare sistematicamente una serie di limiti notevoli (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html). Per esempio, il numeratore dell’espressione presente all’esponente può essere modificato così: ##KATEX##\begin{aligned} \ln \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right ) & = \ln \left ( 1+ (\cos x + \tan x -1)\right ) = \\ & = (\cos x + \tan x -1) \cdot \frac{\ln \left ( 1+ (\cos x + \tan x -1)\right )}{\cos x + \tan x -1}\end{aligned}##KATEX##Dato che l’espressione $\cos x + \tan x -1$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$, possiamo utilizzare un limite notevole generalizzato per affermare che $$\frac{\ln \left ( 1+ (\cos x + \tan x -1)\right )}{\cos x + \tan x -1} \rightarrow 1$$e quindi possiamo scrivere $$\frac{ \ln \left ( \cos x + \frac{\sin x}{\cos x} \right )}{x} \sim \frac{\cos x + \tan x - 1}{x}$$A questo punto possiamo spezzare questa frazione e utilizzare altri due limiti notevoli per dire che $$\frac{\cos x + \tan x - 1}{x} = \frac{\cos x - 1}{x} + \frac{\tan x}{x} \xrightarrow{x \to 0} 1$$In conclusione, il nostro limite fa $e$! Come vedi il procedimento è interamente legato all’utilizzo di opportune operazioni algebriche e dei limiti notevoli. Fammi sapere se c’è qualcosa che non ti è chiaro :)