CAMPO DERIVABILITA'
Ciao! Qualcuno saprebbe dirmi che cosa si intende precisamente per CAMPO DIDERIVABILITA'? Per trovarlo praticamente, dovrei fare la stessa cosa che faccio per trovare il dominio, ma invece che alla funzione, alla derivata della funzione?? ad esempio f'(x)= 2/x-1 Il campo di derivabilità sarà per x diverso da 1, quindi tutto R escluso 1? grazie
il 29 Gennaio 2015, da Andre Abeillecuve
Ciao Andre! Allora, quello che hai detto riguardo a come determinare il campo di derivabilità non è del tutto sbagliato, ma devo fare la seguente precisazione: il campo di derivabilità di una funzione è un sottoinsieme del dominio della funzione stessa. In altre parole: se la funzione non è definita da qualche parte, lì non ha neanche senso studiarne la derivata! Ad esempio, la funzione $f(x) = 2\ln (x-1)$ ha per derivata $f’(x) = \frac{2}{x-1}$ (la stessa che hai proposto tu); il dominio della derivata è $\mathbb{R} - \{1\}$ (cioè $x \neq 1$), ma $f(x)$ non è definita in tutto questo insieme, ma soltanto per $x>1$. Quindi in conclusione il campo di derivabilità è $x>1$! In generale, quindi, il campo di derivabilità è l’intersezione tra il dominio di $f(x)$ e il dominio di $f’(x)$. Ti consiglio comunque di fare attenzione a ciascun caso che affronti: non è detto che questa “regola generale” sia sempre attendibile (uno studio di funzione può diventare potenzialmente molto ostico). Se hai altro da aggiungere o da chiedere, sono a tua disposizione :)
Ti ringrazio per la risposta! Quindi datami una funzione, non esiste un metodo generale e univoco per stabilire il campo di derivabilità? - Andre Abeillecuve 30 Gennaio 2015
In realtà direi che nella stragrande maggioranza dei casi puoi attenerti a quello che ti ho detto io, ovvero: trova il dominio della funzione e della derivata, ed intersecali (al momento non mi vengono in mente controesempi). Il problema è che a volte non è così semplice stabilire il dominio della derivata, perché la derivabilità di una funzione può saltare per vari motivi. Prendi ad esempio una funzione come $f(x) = |\sin(\frac{1}{x})|$: il dominio di $f(x)$ è molto semplice (è definita per $x \neq 0$) ma il dominio della derivata è ben complicato, dato che ha infiniti punti angolosi che si "addensano" verso lo $0$... - Michele Ferrari 30 Gennaio 2015