Diagramma di Hasse

Ciao Andrea. Dunque, innanzitutto ricopio la tua domanda, che c'è un leggero problema di visualizzazione (oilproject ha fame, si mangia le domande). $$ $$ "Salve, avrei bisogno di capire come posso costruire il diagramma di hasse di $(R,\leq)$ dove $R=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ e la sua relazione d'ordine è $(\leq) =\{(x,x) | x \in R \} \cup \{ (a,x) | x \in R \} \cup \{ (b,e),(b,f),(b,g),(c,g),(d,f),(d,g),(e,g),(f,g)\}$. Più che la soluzione vorrei capire il metodo per costruire questo diagramma e quelli di esercizi come questo. Grazie". $$ $$ Un diagramma di Hasse è un grafo, ossia un insieme di punti (nodi o vertici) e segmenti (spigoli o link) tra questi, che rappresenta una relazione d'ordine. I nodi sono gli elementi dell'insieme su cui è definita la relazione d'ordine. La posizione dei nodi è fondamentale: porremo più in alto nodi che sono maggiori o uguali (secondo la nostra relazione d'ordine) di nodi sotto di loro. Due nodi sono collegati da un cammino (cioè un po' di segmenti consecutivi) solo se sono in relazione; due nodi sono collegati da un segmento solo se, oltre che essere in relazione, non c'è nessun "elemento separatore" tra di loro: in matematichese, $a$ e $b$ sono collegati da uno spigolo (in quest'ordine) solo se $a \leq b$ e non esiste $c$ tale che $a \leq c$ e $c \leq b$. Spero che questo ti aiuti a capire come disegnarli :3 fammi sapere!

Non ho capito bene! - Andrea Manisi 28 Agosto 2015

Che cos'è che non hai capito? L'unico problema è come disegnare un diagramma di Hasse? Faccio un piccolo esempio, che spero chiarisca. Concentriamo la nostra attenzione sull'elemento $b \in R$. Sappiamo che $a \leq x \ \forall x \in R$; ci sono altri elementi che stanno tra $b$ e $a$? Cioè, ci sono elementi $y$, diversi da $a$ o $b$, con $a \leq y$ e $y \leq b$? Controllando la nostra relazione, non ne troviamo: questo significa che tra $a$ e $b$ dobbiamo tracciare un segmento. Siccome $a \leq b$, poniamo $b$ più in alto di $a$. Ora cerchiamo elementi che stanno più in alto di $b$: controllando ancora una volta la relazione, abbiamo $e$, $f$ e $g$ che sono tutti "maggiori o uguali" a $b$. Per quanto riguarda $e$ ed $f$, questi sono direttamente sopra $b$: non ci sono altri elementi di $R$ che si "incastrino" tra $e$ o $f$ e $b$. Per quanto riguarda $g$, invece, sebbene sia indicato che $b \leq g$, l'elemento $f$ (per esempio) si pone tra $b$ e $g$: difatti, $b \leq f$ e $f \leq g$. Questo significa che, sebbene dobbiamo porre $g$ più in alto di $b$, non dobbiamo tracciare un segmento tra i due elementi. Quindi, sotto $b$ abbiamo $a$ (e i due sono collegati da un segmento); sopra $b$ abbiamo $e$ ed $f$ (e c'è un segmento tra $b$ e questi due elementi), e ancora più sopra c'è $g$. Infine, $b$ non è in relazione né con $d$ né con $c$: dovrebbero essere quindi posti sullo stesso livello. Ripetendo questo ragionamento per gli altri elementi, si può disegnare tutto il diagramma di Hasse per $(\leq)$. Tieni presente, comunque, che non c'è un unico modo di disegnare lo stesso diagramma di Hasse: a volte si va un po' per tentativi :) - Giovanni Barazzetta 31 Agosto 2015