Domanda sui numeri relativi con esponente zero
La domanda alla quale non riesco a dare risposta è questa: sto leggendo un libro di matematica per le superiori, e sono al capitolo riguardante le potenze dei numeri relativi ed ho compreso tutto, tranne il perchè del comportamento dei numeri con esponente 0, ossia perché se un numero e racchiuso dalle parentesi ed è elevato a zero si comporta diversamente da un numero elevato a 0 senza parentesi come: (-1)^0 = +1 ma se non è tra parentesi il risultato è -1^0 = -1 e viceversa +1^0 = +1 o (+1)^0 = +1, ho provato ad immaginare visto che; ogni numero relativo senza esponente durante le operazioni è come avesse esponente 1, ma 1x0 =0 e 0x1 =0 quindi non riesco a giustificare il comportamento di un numero relativo qualsiasi elevato a 0 (lo 0 e pari o dispari?). Sul libro non ho trovato spiegazioni esaurienti, tranne che una semplice frase "fate bene attenzione se il numero e racchiuso tra parente oppure no!", io una risposta così la trovo insufficiente e vorrei una spiegazione matematicamente più dettagliata spero lei me la possa dare. Saluti da Giovanni Gadano
il 18 Novembre 2015, da Giovanni Gadano
Ciao Giovanni! Allora, chiariamo subito tre cose. Primo: le parentesi sono gratis e fanno bene, usiamole; non usarle crea confusione. Il fatto che vengano omesse è solo per risparmiare inchiostro e per rendere leggibile un'espressione con più di tre operazioni. Visto che ne usiamo solo due, metterò tutte le parentesi del caso. Secondo: mettere un segno $-$ davanti ad un numero ne cambia il segno, nel senso che $- (2)$ è l'opposto di $2$ (che è $-2$), $-(-4)$, è l'opposto di $-4$, che è $4$, eccetera. Leggiti questo testo per chiarirti le idee sui numeri relativi: https://library.weschool.com/lezione/numeri-interi-naturali-insiemi-numerici-z-n-insiemistica-12715.html. Terzo: elevare alla $0$ un numero diverso da $0$ fa $1$; questo deriva dalle proprietà delle potenze, spiegate qui https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html. Ora arriva il bello: quando effettuiamo un po' di operazioni l'una dietro l'altra, il risultato che otteniamo cambia a seconda dell'ordine in cui svolgiamo le operazioni. Il fatto che il risultato non cambi è un'occorrenza abbastanza particolare, tanto da meritarsi il nome speciale di "proprietà commutativa": ad esempio, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/addizione-moltiplicazione-proprieta-commutativa-definizione-cambiando-ordine-degli-addendi-14947.html. In realtà, il fatto che due operazioni commutino tra loro è difficile, anche se siamo abituati in altro modo: prova a prendere il tram prima di uscire di casa, e te ne accorgerai. Per evidenziare l'ordine in cui le operazioni vengono svolte, usiamo le parentesi: prima si svolgono quelle più interne, e via via verso l'esterno. In matematica, l'operazione di "cambiare di segno" e di "elevare alla $0$" non commutano tra loro: è quindi fondamentale usare le parentesi. Se ho un numero $a$ diverso da zero, $(-a)^0$ fa $1$, perché prima cambio il segno di $a$, poi lo elevo alla $0$: più precisamente dovrei scrivere$$ \left( - \left( a \right)\right)^0 = (-a)^0 =1$$Se invece scrivo $-a^0$... non ho scritto molto, perché non so in quale ordine le operazioni vadano eseguite! C'è una convenzione sull' "ordine delle operazioni", che mi dice, in questo caso, che devo cambiare segno dopo aver fatto l'elevamento alla zero; ma se volessi scrivere correttamente tutto quanto, la mia espressione sarebbe questa:$$ -\left( \left( a \right)^0 \right) = -\left( 1 \right) = -1$$Capito la differenza ora? Fammi sapere :3 Ciao e buona giornata!