Equazione parametrica della circonferenza
Stabilisci per quali valori di K l'equazione x^2+y^2-2(k-3)x+ky-6k+14=0 rappresenta una circonferenza. Determina poi per quali valori di k si ha una circonferenza che incontra l'asse delle ordinate in due punti A e B tali che AB= radq 56. N.B. Quello scritto sopra è il testo completo. La prima parte è semplice perché dovendo essere positivo il radicando della formula del raggio, ne viene che k<=-2 V k>=2 . La mia difficoltà è nella seconda parte del problema . Chi se la sente di darmi una mano? Grazie anticipatamente.
il 15 Maggio 2018, da antonio pellegriti
Risolto. Cercherò di essere quanto più chiaro possibile anche se l'impaginazione e l'impossibilità di fare grafici complicano notevolmente la spiegazione. Per la risoluzione della seconda parte del problema useremo un approccio geometrico.Le coordinate del centro del fascio sono: C(k-3;-k/2). Non conoscendo la posizione nel piano del centro C , lo fissiamo arbitrariamente nel semipiano delle y>0 . Dal punto C, proiettiamo sull'asse y l'ordinata -k/2 in modo da incontrare l'asse y nel punto M di coordinate M(0;-k/2) . Ma -k/2 non è altro che il punto medio del segmento AB= radq56. Le coordinate di A e B saranno conseguentemente pari a : A(0 ; -k/2-radq56/2) e B(0 ; -k/2+radq56/2) . (Vi consiglio di costruirvi il grafico ad ogni passaggio). Consideriamo ora il triangolo AMC. Di questo triangolo conosciamo MC ed MA ; tramite il teorema di Pitagora calcoliamoci AC. AC=radq((Xc-Xa)^2+(Yc-Ya)^2)= radq((k-3)^2+14); o meglio ancora : AC^2=(k-3)^2+14. Ma AC non è altro che il raggio della generica eq. della circonferenza del fascio che scriveremo come : r^2=alpha^2+beta^2-c ovvero r^2= (k-3)^2+(k/2)^2+6k-14 . A questo punto eguagliando AC^2=r^2 avremo : (k-3)^2+14=(k-3)^2+(k/2)^2+6k-14 . Risolvendo secondo k e semplificando otterremo k=-28 V k=4 . Questi sono dunque i due valori di k cercati. Ovviamente k=4 sarà soluzione per valori di k>=2, mentre k=-28 lo sarà per k<=-2 . Le equazioni delle circonferenze saranno rispettivamente : x^2+y^2-2x+4y-10=0 e x^2+y^2+62x-28y+182=0 . Spero vi sia piaciuto. Ciao a tutti.