Equazioni differenziali, Sistemi di equazioni lineari non omogenei

Sono tornato :D, dunque la domanda sorge in seguito alla preparazione per l'esame di Analisi II che sta avvenendo seguendo il libro di testo più che gli appunti presi durante la lezione. Tra gli esempi proposti dal libro sono incappato in questo che assieme ad altri 2 esempi ha il medesimo metodo risolutivo. Il problema sorge in seguito a un punto nel quale non so più come proseguire l'esercizio in quanto non riesco a trovare il nesso logico che connette due parti della spiegaione dell'esercizio guidato che a quanto pare il testo da per scontato: Si voglia determinare un integrale particolare del sistema lineare non omogeneo in cui A=(0,1,1)(-1,0,0)(0,0,2) (la matrice l'ho scritta affiancando i vettori colonna) e b(t)= (0, t,t^2). Dunque, facendo riferimento a una formula del libro, ho che se il termine noto b(t) si presenta nella forma e^(at)p(t) con a appartenente a R e p(t) polinomio di grado m, esiste un integrale particolare della forma: y(t)= e^(at)q(t) dove q(t) è un polinomio di grado m se a è un autovalore della matrice A, m+k se a è un autovalore di molteplicità k>=1 di A. in questo caso a=0 e non è radice del polinomiocaratteristico che ammette invece come radici e quindi come autovalori 2,1,-1 con molteplicità algebrica rispettivamente pari a 1. il polinomio relativo invece al termine noto è di grado 2 ed è della forma p(t) = b0t^2 + b1t con b0= (0,1,1) e b1= (0,1,0) e b2=(0,0,0). quindi come dicevo prima, non essendo a=0 radice del polinomio caratteristico, cerco soluzioni della forma q(t)= c0t^2+c1t+c2. Sostituendo tale valore nell'espressione generica dell'equazione differenziale y'= Ay+b(t) ottengo: 2c0t +c1= Acot^2 + Ac1t + Ac2 + b0t^2 + b1t dove devo eguagliare le componenti delle potenze t creando una cascata di sistemi lineari di questa forma: Ac0=-b0; Ac1= 2c0-bi; Ac2=c1 (dove ho un sistema di 3 righe e il ; corrisponde alla distinzione tra prima seconda e terza riga del sistema. Il problema è proprio qui, non capisco come esplicitare i vettori c0,c1,c2 da questo sistema, non capisco come procedere nella risoluzione del sistema stesso in modo da ottenere come dice il testo c0= (0,0,-1/2); c1=(-1,0,0); c2=(0,1,0). Sicuramente il procedimento è banale ma in questo momento ho una saturazione di Analisi II tale da non riuscire più a capire nulla :D Vi ringrazio in anticipo :D

il 16 Febbraio 2016, da Mattia Mangia