Esercizi sul principio di induzione
Salve a tutti. Avrei bisogno di aiuto con i seguenti due esercizi, di cui vorrei capirne la risoluzione: 1) Σn k=0 (5^k) = (5^n+1 -1)/ 4 2) Per ogni n > 0 2 | (n^2+n) Vi ringrazio
il 21 Novembre 2015, da Andrea Manisi
Ciao Andrea. Il principio di induzione proprio non ti piace… Mi spiace dirtelo, ma anche questi esercizi si risolvono esattamente come tutti gli altri di cui abbiamo già parlato. Bisogna cioè: 1) verificare che la formula (o la proprietà) sia vera per il primo $n$ ammissibile; 2) assumere vera la formula (o la proprietà) per $n$ e mostrare che sia vera per $n+1$. Il primo dei due esercizi è davvero molto simile a gran parte di quelli che abbiamo già visto: prova a farlo da solo. Invece il secondo è un po’ diverso, e lo svolgo qui. Si chiede di provare che, per ogni $n \in \mathbb{N}$ e positivo, il numero $n^2+n$ sia divisibile per $2$: iniziamo con la procedura.$$ $$1) il primo $n \in \mathbb{N}$ positivo è $1$. Quindi in questo caso $$n^2 + n = 1^2 + 1 = 2$$che è certamente divisibile per $2$. Il primo passo è stato svolto! $$ $$2) Supponiamo che $n^2+n$ sia divisibile per $2$; ci chiediamo se $(n+1)^2 + (n+1)$ lo sia. Svogliamo un po’ di conti: $$(n+1)^2 + (n+1) = n^2+2n+1+n+1 = (n^2+n) + (2n + 2)$$Il primo termine della somma è divisibile per $2$ per ipotesi, il secondo lo è perché possiamo scriverlo come $2(n+1)$. In conclusione il numero ottenuto è divisibile per $2$: abbiamo dimostrato quello che volevamo.$$ $$Ecco fatto! Ciao e buona giornata :)
Ciao Michele, innanzitutto ti ringrazio per avermi risposto. Ma nel primo esercizio il problema non è che non so applicare il principio di induzione, ma è quel 5^n che mi manda in confusione quando sostituisco ad n => n+1 - Andrea Manisi 23 Novembre 2015