Esercizio estremo inferiore e estremo superiore

Ciao Andrea! Ecco il modo in cui affronterei questo esercizio. Per prima cosa, notiamo che $i_A := \text{inf}A$ è, in particolare, un minorante di $A$ (cioè un numero reale che è minore di ciascun elemento di $A$) così come $s_A := \text{sup}A$ è un maggiorante di $A$ (cioè un numero reale che è maggiore di ciascun elemento di $A$): la relazione $\text{inf}A \leq \text{sup}A$ risulta allora abbastanza ovvia, dato che per un qualsiasi elemento $a \in A$ vale la relazione $i_A \leq a \leq s_A$. Rimangono quindi da dimostrare le due relazioni $$i_B \leq i_A, \quad s_A \leq s_B$$dove, in analogia con la notazione usata prima, $i_B := \text{inf}B$ e $s_B := \text{sup}B$. Per fare questo lavoriamo per prima cosa sugli estremi inferiori $i_B$ e $i_A$. Sappiamo che $i_B \leq b \ \ \forall \ b \in B$, dato che è un minorante di $B$; ma siccome $A \subseteq B$, a maggior ragione avremo $$i_B \leq a \quad \forall a \in A.$$Questa relazione ci dice che $i_B$ è un minorante di $A$, e dato che $i_A$ è il “maggiore dei minoranti”, avremo necessariamente che $i_B \leq i_A$, che è proprio quello che volevamo dimostrare. Un ragionamento analogo, ma “specchiato”, si può fare per gli estremi superiori $s_A$ e $s_B$. Ecco fatto! :D Spero sia tutto chiaro, ma fammi sapere se c’è altro che vuoi approfondire. Ciao!

Ti ringrazio......Però vorrei approfondire l'argomento di questo esercizio per capire meglio, in caso all'esame dovesse capitarmi qualcosa del genere! - Andrea Manisi 29 Maggio 2015

Ora che mi accorgo....devo aver ricopiato male la traccia che risulta incompleta, la traccia completa è questa:"Provare che se A è incluso in B e B è incluso in R e A diverso dall'insieme vuoto, allora inf B <= inf A <= supA <= supB: Si forniscano esempi in cui una o piu fra le precedenti disuguaglianze sono strette." - Andrea Manisi 29 Maggio 2015

Ciao Andrea. Riscrivo qui il testo del problema per comodità di consultazione, dato che abbiamo avuto un problema tecnico nella visualizzazione: $$ $$Provare che se $A$ è incluso in $B$ e $B$ è incluso in $\mathbb{R}$, e $A$ è diverso dall'insieme vuoto, allora $$\text{inf}B \leq \text{inf}A \leq \text{sup}A \leq \text{sup}B$$Si forniscano esempi in cui una o più fra le precedenti disuguaglianze sono strette.$$ $$La soluzione l'ho già fornita prima, ma mi sono accorto adesso che non ti ho fornito gli esempi richiesti! Dunque, per avere disuguaglianze strette da entrambe le parti è possibile prendere, per esempio, $A = [-1,1]$ e $B = [-2, 2]$ (in questo caso infatti $\text{inf}A = -1$ e $\text{inf}B = -2$, mentre $\text{sup}A = 1$ e $\text{sup}B = 2$). Per avere una sola disuguaglianza stretta, basta fare in modo che $A$ e $B$ siano intervalli con un estremo in comune, e l'altro no :) Tornando al discorso che facevi nei commenti: mi piacerebbe aiutarti ancora, ma il problema è che attualmente sul sito non abbiamo contenuti a riguardo (anche se pensiamo di produrli a breve). In ogni caso, come vedi, la strategia per risolvere esercizi di questo tipo è di utilizzare tutte le definizioni "con calma" e ragionare, ragionare tantissimo :) se c'è qualche definizione, o teorema, o esercizio che non ti torna, chiedi tranquillamente!

Grazie mille per la tua disponibilità e il tuo aiuto......sto vedendo finalmente un pò di luce nell'oscuro mondo dell'analisi matematica! :) - Andrea Manisi 29 Maggio 2015

Ciao.....non ho capito bene la parte dell'esempio di disuguaglianza stretta. Me la potresti rispiegare?? Grazie - Andrea Manisi 30 Maggio 2015

Certo! Prendiamo il caso in cui $A = [-1, 1]$ e $B = [-2,2]$. L'estremo inferiore per $A$ è $-1$, dato che ogni elemento di $A$ è maggiore o uguale a $-1$ e non esistono altri numeri più grandi di $-1$ con questa proprietà; l'estremo inferiore per $B$ è $-2$, dato che ogni elemento di $B$ è maggiore o uguale a $-2$ e non esistono altri numeri più grandi di $-2$ che rispettino questa condizione. Dato che $-2 < -1$, allora $\text{inf}B < \text{inf}A$. Con un ragionamento simile si mostra che $\text{sup}B > \text{sup}A$. $$ $$Per avere invece una sola disuguaglianza stretta su due, prendiamo $A = [-1, 1]$ e $B = [-2, 1]$: per la stessa ragione di prima, $\text{inf}B < \text{inf}A$ (dato che gli estremi inferiori di entrambi gli insiemi non sono cambiati) ma gli estremi superiori stavolta concidono (cioè $\text{sup}B = \text{sup}A = 1$). Meglio adesso? :) - Michele Ferrari 03 Giugno 2015