Esercizio su equivalenze asintotiche
Dire per quali a definite in R si ha che (sin x + log^2 x) / ( xlogx )=o(x^a) per x--> +inf Come risolvo?
il 08 Novembre 2016, da Luca Loiacono
Ciao Luca! Dire che una funzione $f(x)$ è $\text{o}\left(g(x)\right)$ (che si legge "o piccolo di $g$") per $x$ tendente ad $l$, dove $l$ può essere un numero finito o infinito, significa che vale il limite$$ \lim_{x \to l} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$La nozione di o piccolo è molto utile per risolvere i limiti. Nel tuo caso, la funzione $f(x)$ è $\frac{\sin (x) + \log^2 (x)}{x \log (x)}$, mentre $g(x) = x^a $, quindi bisogna studiare, al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$, il seguente limite e capire quando vale $0$:$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin (x) + \log^2 (x)}{x \log (x) \cdot x^a}$$Potrebbero risultarti utili, a questo sopo, i limiti notevoli: puoi trovare una nostra lezione qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. Ricorda anche il teorema di de l'Hopital, caso mai ti servisse: https://library.weschool.com/lezione/usare-de-l-hopital-per-risolvere-forme-indeterminante-nei-limiti-9658.html. Spero che sia tutto chiaro: se hai dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona giornata.