Estremo superiore e inferiore
Salve...potreste aiutarmi a capire come posso dimostrare ciò che è scritto nella traccia di questo esercizio: "Sia A un sottoinsieme non vuoto e limitato di R. Poniamo B = { -x | x € A } Provare che supB = -inf A inf B = -sup A:
il 30 Maggio 2015, da Andrea Manisi
Ciao Andrea. Per risolvere questo esercizio devi riflettere sulle definizioni di estremo inferiore e superiore di $A$, e provare a lavorarci un po’ sopra per ottenere informazioni su $-\text{inf}A$ e $-\text{sup}A$. Cerco di spiegarmi: prendiamo per esempio $\text{inf}A$. Dato che per definizione $\text{inf}A < a$ per ogni scelta di $a \in A$, allora anche $-\text{inf}A > -a$; ma $-a$ è un generico elemento di $B$, dato che $B$ è sostanzialmente l’insieme di tutti i numeri reali opposti agli elementi di $A$. In questo modo abbiamo mostrato che $-\text{inf}A$ è un maggiorante di $B$. Con “trucchi” simili si mostra che $-\text{inf}A$ è il minimo tra i maggioranti di $B$, e che quindi $-\text{inf}A = \text{sup}B$. Il ragionamento da percorrere per mostrare che $\text{inf}B = -\text{sup}A$ è di fatto lo stesso, ma “specchiato”. Prova a vedere se riesci a risolverlo :) Fammi sapere, ciao!