Forme Quadratiche

Credo di aver risolto, procedendo così come da me esposto non avrei fatto altro che trovare una matrice diagonale simile a quella di partenza. per trovare la matrice che opera il cambiamento bisogna invece calcolare le equazioni degli autospazi per gli autovalori trovati, per poi ricavare i vettori che verranno normalizzati e diverranno base ortonormale e dunque i vettori che corrispondono alle colonne della nuova matrice ;) spero di averci azzeccato :D

Ciao Mattia, bentornato :D Il teorema spettrale reale ci garantisce che una matrice $A$ simmetrica di ordine $n$ (ad esempio quella che rappresenta una forma quadratica) è simile a una matrice diagonale (la chiamiamo di $B$) tramite una matrice ortogonale (la chiamiamo $T$): questo vuol dire che $B = T^{-1} A T $. La matrice $B$, per forza di cose, deve avere sulla diagonale gli autovalori di $A$. La matrice ortogonale $T$ si può trovare accostando una base dello spazio $n-$dimensionale fatta di autovettori della matrice $A$: autovettori relativi ad autospazi differenti sono automaticamente ortogonali tra loro; ma attenzione che, se ci sono autospazi di dimensione maggiore di $1$, la base di quell'autospazio deve essere ortogonalizzata. Naturalmente gli autovettori vanno poi tutti normalizzati. E attenzione a mettere autovalori e autovettori nell'ordine giusto! Comunque vai così che vai alla grande ^,..,^

Perfetto, grazie :D a proposito di ciò, un dubbio che m'era sopraggiunto la settimana scorsa è il seguente: quando trovo gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica e mi viene chiesto di scriverli nella forma canonica, c'è un certo ordine con il quale devo attribuire gli autovalori a X' Y' Z' ecc? ovvero faccio l'esempio: ho la forma quadratica da R^2 in R^4 Q(x y) = 2x^2 -Y^2 +4XY, dunque la matrice associata è (2,2/2,-1). calcolo il segno di Q cercando le radici del polinomio caratteristico, ovvero gli autovalori e vedo se sono positivi, negativi, semipositivi, seminegativi o indefiniti. in questo caso risulterebbero pA(t)= t^2 -t -6 con le radici t= -2 e t= 3, dunque è indefinita. ora ricerco la forma canonica, dunque dovrei scrivere: X'= 3X'^2 -2Y'^2, X'=(x' y'). Avrei potuto scrivere anche -2X'^2 +3Y'^2 ?? se così non fosse che criterio bisogna utilizzare? visto che nei testi e tra le dispense non è specificato :D :D - Mattia Mangia 04 Giugno 2015

La forma quadratica che mi hai dato tu a me sembra non da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^4$, semmai da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. Chiarito questo, posso darti due risposte: una breve e una più articolata. $$ $$ Risposta breve: sì, c'è un certo ordine, ma l'ordine lo scegli tu, scegliendo la matrice del cambio di base, le cui colonne sono una base formata da autovettori della matrice associata alla forma quadratica. $$ $$ Risposta più articolata. Supponiamo che la forma quadratica $\mathcal{Q}: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}$ sia rappresentata dalla matrice $Q$ (sulla base standard) che ha autovalori $\lambda_1, \dots, \lambda_m$, con autospazi rispettivamente $V_{\lambda_1}, \dots, V_{\lambda_m}$ che hanno una certa loro dimensione $d_k$ (che è la molteplicità algebrica di $\lambda_k$ come radice del polinomio caratteristico), di modo che la somma delle dimensioni faccia quella dello spazio totale: $d_1 + \dots + d_m = N$; tutto questo in virtù del teorema spettrale ($Q$ è simmetrica :D). Possiamo allora trovare una base di autovettori: ce ne saranno $d_1$ per $V_{\lambda_1}$, $d_2$ per $V_{\lambda_2}$, eccetera. Adesso, tutti questi bei vettori fanno una base di $\mathbb{R}^N$; se li accostiamo uno all'altro, sino a formare la matrice $A$, otterremo una matrice che ci fa passare da $Q$ a $D$, matrice diagonale: $D = A^{-1} Q A$. L'ordine in cui li accostiamo determinerà l'ordine in cui compariranno i vari $\lambda_k$ sulla diagonale di $D$. Se ad esempio nella matrice $A$ mettiamo all'inizio una base per $V_{\lambda_1}$ e poi una per $V_{\lambda_2}$, la matrice diagonale avrà prima un blocco diagonale fatto da $\lambda_1$ e poi uno fatto da $\lambda_2$; se invertiamo l'ordine, la matrice diagonale sarà fatta in un altro modo. Nel tuo esempio, gli autospazi sono: relativo a $-2$ generato da $\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)$, relativo a $3$ generato da $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$. Allora se pongo $A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right)$, allora la matrice diagonale è $D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right)$, mentre se pongo $A = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right)$ avrò $D= \left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)$. Spero sia tutto chiaro :D - Giovanni Barazzetta 05 Giugno 2015