Funzioni

Ciao Valeria! Permettimi subito di rincollare il testo della tua domanda, ché abbiamo un piccolo problema tecnico (ad Oilproject piacciono molto le disequazioni, se le mangia tutte). $$ $$ Data la funzione $$ f(x)= \begin{cases} 2^x +1 & \text{ se } x < 0 \\ x^2 - 4x & \text{ se } x \geq 0\end{cases}$$ a) traccia il grafico di $f(x)$ e da esso deduci il codominio b) traccia il grafico di $y=f(|x|)$ c) risolvi $f(|x|)=5$ Grazie in anticipo per l'aiuto $$ $$Per tracciare il grafico di una funzione si seguono dei passaggi standard illustrati in questa lezione: https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Senza perdere troppo tempo, però, ci accorgiamo subito che la funzione in questione è definita a tratti, uno per $x < 0$ e uno per $x \geq 0$, e che, inoltre, da una parte si tratta di una parabola, e dall'altra di un'esponenziale: penso che siano concetti ormai assodati, ma ti rimando ad una buona lezione sulle parabole, che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-equazione-parabola-calcolare-fuoco-vertice-9448.html, e una sugli esponenziali https://library.weschool.com/lezione/definire-studiare-dominio-andamento-funzione-esponenziale-matematica-9353.html. Quindi il grafico di $f$ sarà costituito da due "pezzi", uno per le ascisse positive (la parabola) e uno per le ascisse negative (l'esponenziale). Il codominio di $f$ ha una definizione piuttosto formale, che puoi trovare qua https://library.weschool.com/lezione/codominio-dominio-relazione-classi-equivalenza-teoria-insiemi-12780.html; ma, in buona sostanza, il codominio di una funzione è l'insieme di tutte le ordinate "raggiunte" dal grafico. Studiando il limiti agli estremi del dominio, scopriamo che la parabola, per $x > 0$, "esplode" all'infinito, dato che ha concavità rivolta verso l'alto. Il punto più basso della funzione, invece, rappresenterà l'estremo inferiore del codominio: come si vede dal grafico, questo è il vertice della parabola, che si trova in $(2;-4)$. Dunque il codominio di $f$ è l'intervallo $[-4, +\infty)$. Per tracciare il grafico di $f(|x|)$, avendo già tracciato il grafico di $f(x)$, non ci vuole molto: infatti, ricordando la definizione di valore assoluto che trovi qua https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html, possiamo dire che: 1) per $x \geq 0 $, il grafico di $f(|x|)$ è lo stesso di quello di $f(x)$, dato che $|x| = x$. 2) Per $x \leq 0$, il grafico di $f(|x|)$ è quello di $f(-x)$, dato che $|x| = -x$; ad esempio, $f(|-2|) = f \left( -(2) \right)$, $f(|-\pi|) = f(\pi)$, eccetera. In buona sostanza, l'asse delle ordinate "specchia" la parte di grafico con ascisse positive, e la ribalta nel semipiano con ascisse negative; del grafico originale, per $x < 0$, non rimane nulla. Infine, per risolvere $f(|x|)=5$, occorre risolvere un sistema con valori assoluti: $$ \begin{cases} 2^{|x|} +1 = 5 & \text{ se } x < 0 \\ |x|^2 - 4|x| = 5 & \text{ se } x \geq 0 \end{cases}$$Ma le condizioni di questo sistema sono poste in maniera tale da poter eliminare direttamente i moduli: ricordando la sua definizione, possiamo sostituire il valore assoluto con $\pm x$ a seconda del segno di $x$. Giungiamo quindi al sistema $$ \begin{cases} 2^{-x} +1 = 5 & \text{ con } x < 0 \\ x^2 - 4x = 5 & \text{ con } x \geq 0 \end{cases}$$Questo sistema ha due soluzioni, $x = -2$ e $ x =5$. Fammi sapere se ti tornano i conti :D Ciao e buona giornata!