geometria

Potreste darmi un esempio svolto di calcolo del pullback di una k-forma differenziale da r3 a r4? Grazie


il 19 Maggio 2015, da Alberto Rutigliano

Giovanni Barazzetta il 19 Maggio 2015 ha risposto:

Wow Alberto, che bella domanda! Allora. Chiamiamo ω\omega la nostra kk-forma su R3\mathbb{R}^3. Per questioni di dimensione, kk può essere solo 00, 11, 22 o 33. Ora, per fare il pull-back di ω\omega, ci serve un'applicazione liscia ϕ:R4R3 \phi: \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^3 lungo cui fare il pull-back: la più semplice che mi viene in mente è la proiezione su un iperpiano (tipo π:(xi,t)(xi)\pi: (x_i, t) \longmapsto (x_i)), ma ce ne sono quante ne vuoi. Essendo un'applicazione liscia, questa ϕ\phi ha un'applicazione lineare tangente Tϕ:TR4TR3 T\phi: \mathcal{T}\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathcal{T}\mathbb{R}^3 Il tangente a Rm\mathbb{R}^m si identifica con Rm\mathbb{R}^m stesso; quindi possiamo dire che l'applicazione lineare tangente TϕT\phi manda vettori tangenti di R4\mathbb{R}^4 in vettori di R3\mathbb{R}^3, cioè TPϕ(v)R3PR4, vR4 T_P\phi(v) \in \mathbb{R}^3 \quad \forall P \in \mathbb{R}^4,\ \forall v \in \mathbb{R}^4 e in ciascun punto può essere rappresentata, una volta fissate le basi, da una matrice 3×43 \times 4. Nell'esempio della proiezione π\pi, l'applicazione lineare tangente "uccide" la componente lungo t\frac{\partial}{\partial t}. Ora che abbiamo TϕT \phi, possiamo definire il pull-back di ω\omega. Lo chiamiamo ϕω\phi^*\omega, e sarà una kk-forma su R4\mathbb{R}^4 (cioè, dello stesso tipo: il pull-back mantiene il carattere dei tensori): essendo una kk- forma per ciascun punto prenderà in ingresso kk vettori tangenti in quel punto a R4\mathbb{R}^4 e restituirà un numero reale. Questo numero reale si ottiene così: se fissiamo l'attenzione su PR4P \in \mathbb{R}^4 e su kk vettori v1,,vkR4v_1, \dots, v_k\in \mathbb{R}^4 sarà ϕωP(v1,,vk)=ωϕ(P)(TPϕ(v1),,TPϕ(vk)) \phi^* \omega_P (v_1, \dots, v_k) = \omega_{\phi(P)} (T_P\phi(v_1), \dots, T_P\phi(v_k)) Nell'esempio con la proiezione, i vettori viv_i perderanno l'ultima componente, cioè passeranno da vi=(vi1,vi2,vi3,vit)v_i = (v_i^1, v_i^2, v_i^3, v_i^t) a vˉi=(vi1,vi2,vi3)\bar{v}_i = (v_i^1, v_i^2, v_i^3), e data una kk-forma ω\omega su R3\mathbb{R}^3 , sarà πω(x1,x2,x3,t)(v1,,vk)=ω(x1,x2,x3)(vˉ1,,vˉk)\pi^* \omega_{(x_1,x_2,x_3,t)} (v_1, \dots, v_k) = \omega_{(x_1,x_2,x_3)}(\bar{v}_1, \dots, \bar{v}_k) Se ti servono altri chiarimenti, chiedi pure!


Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Poi vorrei chiederti un esempio più "concreto", cioè con una funzione liscia e una k-forma esplicita. O comunque se sai dove posso andare a vedere. - Alberto Rutigliano 29 Maggio 2015

Giovanni Barazzetta il 29 Maggio 2015 ha risposto:

Una delle prime domande che feci al mio professore di geometria differenziale fu "ma mi fa un esempio di pull-back?", quindi ti capisco eccome ;P Concretizziamo. Voglio fare il pull-back di una 22-forma da R2\mathbb{R}^2 a R3\mathbb{R}^3, lungo una certa applicazione. Prima di tutto, l'applicazione: prendiamo R3\mathbb{R}^3 con coordinate (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3) e R2\mathbb{R}^2 con coordinate (t1,t2)(t_1, t_2); l'applicazione che scelgo misura la distanza al quadrato dall'asse x3x_3 e la distanza al quadrato dall'asse x1x_1: espressa in coordinate, sarà Φ(x1,x2,x3)=(x12+x22x22+x32) \Phi (x_1,x_2,x_3) = \left( \begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 \\ x_2^2 + x_3^2 \end{aligned} \right) cioè t1=x12+x22 t_1 = x_1^2 + x_2^2 e t2=x22+x32 t_2 = x_2^2 + x_3^2. L'applicazione lineare tangente è la Jacobiana di questa mappa (non siamo pazzi e scegliamo, per derivare, le stesse coordinate in cui viene espressa): è quindi la matrice T(x1,x2,x3)Φ=J(x1,x2,x3)Φ=[2x12x2002x22x3] T_{(x_1,x_2,x_3)} \Phi = J_{(x_1,x_2,x_3)} \Phi = \left[\begin{array}{ccc} 2x_1 & 2x_2 & 0 \\ 0 & 2x_2 & 2x_3 \end{array}\right] Le colonne di JΦJ\Phi sono l'immagine dei vettori della base mobile (100)\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), (010)\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), (001)\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) nel punto di coordinate (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3): chiamando JJ per brevità la matrice jacobiana, avremo dunque J(100)=(2x10),J(010)=(2x22x2),J(001)=(02x3) J \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2x_1 \\ 0 \end{array} \right), \quad J \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2x_2 \\ 2x_2 \end{array} \right), \quad J \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2x_3 \end{array} \right) Adesso dobbiamo scegliere una 22-forma ω\omega su R2\mathbb{R}^2; la scelta è un po' limitata, infatti lo spazio delle 22-forme su R2\mathbb{R}^2 ha dimensione 11: ω\omega sarà un multiplo, per una funzione, del determinante (due per due). Allora, come 22-forma ω\omega definita su R2\mathbb{R}^2 scelgo il determinante moltiplicato per la distanza dall'origine: ω(t1,t2)(,)=t12+t22det() \omega_{(t_1,t_2)}(\bullet,\bullet) = \sqrt{t_1^2 + t_2^2} \det\Big( \bullet \Big| \bullet \Big) dove al posto dei \bullet ci mettiamo due vettori di R2\mathbb{R}^2. Ora abbiamo tutti gli ingredienti per calcolare Φω\Phi^* \omega! Ricordiamo che è ancora una 22-forma, ma questa volta su R3\mathbb{R}^3: prende in ingresso due vettori (di dimensione tre) e restituisce un numero reale. I due vettori li chiamiamo v\vec{v} e w\vec{w}, di componenti (v1,v2,v3)(v_1, v_2, v_3) e (w1,w2,w3)(w_1,w_2,w_3), e li pensiamo applicati nel punto di coordinate generiche (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3). Pronti... via! \begin{aligned} \Phi^* \omega_{(x_1, x_2, x_3)} \big( \vec{v} , \vec{w} \big) &= \omega_{\Phi (x_1,x_2,x_3)} \big( J\cdot\vec{v}, J \cdot \vec{w} \big) = & & \text{per definizione di pull-back} \\ & =\omega_{(x_1^2 + x_2^2, x_2^2 + x_3^2)}\big( J\cdot\vec{v}, J \cdot \vec{w} \big) = & & \text{per definizione di Φ\Phi}\\ & = \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_2^2 + x_3^2)^2} \det \Big( J\cdot\vec{v} \ \Big| \ J\cdot\vec{w} \Big) =& & \text{per definizione di ω\omega} \\ & \Big[ \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_2^2 + x_3^2)^2} = : r \Big]& & \\ & = r \det\left( 2x1v1+2x2v22x1w1+2x2w22x2v2+2x3v32x2w2+2x3w3\begin{array}{cc} 2x_1 v_1 + 2x_2 v_2 & 2x_1 w_1 + 2x_2 w_2 \\ 2x_2 v_2 + 2x_3 v_3 & 2x_2 w_2 + 2x_3 w_3 \end{array} \right) & & \text{JJ lineare}\\ & [\dots] \text{ dopo un po' di conti} & & \\ & = 4r \sum_{i < j} x_i x_j \left| viwivjwj\begin{array}{cc} v_i & w_i \\ v_j & w_j \end{array} \right| & & \text{con i,ji,j compresi tra 11 e 33} \end{aligned} I conti sono tanti, come puoi vedere, ma non sono troppo complicati, una volta che hai capito che cosa devi fare. Ti consiglio di applicare le definizioni con applicazioni e forme semplici: le più semplici da considerare sono le kk-forme di dimensione massima, che sono multipli (per un funzione) dei determinanti; per le applicazioni prenderei delle espressioni polinomiali di grado basso: sono per forza lisce e le derivate si fanno facilmente! Fammi sapere se ti servono altri esempi :3


Innanzi tutto, grazie mille :) Però non mi è proprio chiara una cosa. Non trovo i differenziali. Cioè, il risultato del tuo pullback è un numero. Dove sono spariti i differenziali? - Alberto Rutigliano 07 Giugno 2015

Ah, i differenziali. Il risultato della mia operazione è un numero perché ho applicato la forma a due vettori: una kk-forma prende in ingresso kk vettori e restituisce un numero reale. Prendiamo RN\mathbb{R}^N con coordinate (x1,,xN)(x_1, \dots, x_N). Abbiamo allora le 11-forme dx1,,dxNdx_1, \dots, dx_N, che in ogni punto associano ad un vettore tangente una delle sue componenti: per esempio, se prendiamo come vettore tangente il gradiente di una funzione liscia f\nabla f, avremo che dxj(f)= fxjdx_j (\nabla f) = \frac{\partial \ f}{\partial x_j}. 22-forme, 33-forme e in generale kk-forme si possono esprimere in funzione dei prodotti esterni delle 11-forme dx1,,dxNdx_1, \dots, dx_N: una 22-forma si può esprimere come combinazione lineare di dxidxjdx_i \wedge dx_j, una 33-forma come dxidxjdxkdx_i \wedge dx_j \wedge dx_k, sino alle forme di rango massimo su RN\mathbb{R}^N, che sono multiple di dx1dxNdx_1 \wedge \dots \wedge dx_N. Nell'esempio precedente, la 22-forma ω\omega su R2\mathbb{R}^2 (con coordinate (t1,t2)(t_1,t_2)) si può scrivere come ω(t2,t2)=t12+t22 dt1dt2 \omega_{(t_2,t_2)} = \sqrt{t_1^2 + t_2^2} \ dt_1 \wedge dt_2 mentre il suo pull-back lungo Φ\Phi, in coordinate (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3) su R3\mathbb{R}^3 è Φω(x1,x2,x3)=4(x12+x22)2+(x22+x32)2i<jxixj dxidxj \Phi^* \omega_{(x_1, x_2, x_3)} = 4 \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_2^2 + x_3^2)^2} \sum_{i < j} x_i x_j \ dx_i \wedge dx_j Tutto chiaro? Fammi sapere :3 - Giovanni Barazzetta 09 Giugno 2015

dove, ad esempio, dt1=d(x12+x22)=2x1dx1+2x2dx2dt_1=d(x_1^2+x_2^2)=2x_1dx_1+2x_2dx_2 e poi faccio i prodotti esterni, giusto? - Alberto Rutigliano 09 Giugno 2015

Si, è quello che ho fatto facendo la jacobiana: se guardi la prima riga della matrice JJ, i suoi elementi corrispondono ai coefficienti della tua 11-forma. Qui i differenziali sono facili perché Φ\Phi è polinomiale, e se vuoi puoi anche fare come hai detto tu :3 - Giovanni Barazzetta 11 Giugno 2015

Graaaazie mille :) - Alberto Rutigliano 11 Giugno 2015