geometria
Potreste darmi un esempio svolto di calcolo del pullback di una k-forma differenziale da r3 a r4? Grazie
il 19 Maggio 2015, da Alberto Rutigliano
Wow Alberto, che bella domanda! Allora. Chiamiamo la nostra forma su . Per questioni di dimensione, può essere solo , , o . Ora, per fare il pull-back di , ci serve un'applicazione liscia lungo cui fare il pull-back: la più semplice che mi viene in mente è la proiezione su un iperpiano (tipo ), ma ce ne sono quante ne vuoi. Essendo un'applicazione liscia, questa ha un'applicazione lineare tangente Il tangente a si identifica con stesso; quindi possiamo dire che l'applicazione lineare tangente manda vettori tangenti di in vettori di , cioè e in ciascun punto può essere rappresentata, una volta fissate le basi, da una matrice . Nell'esempio della proiezione , l'applicazione lineare tangente "uccide" la componente lungo . Ora che abbiamo , possiamo definire il pull-back di . Lo chiamiamo , e sarà una forma su (cioè, dello stesso tipo: il pull-back mantiene il carattere dei tensori): essendo una forma per ciascun punto prenderà in ingresso vettori tangenti in quel punto a e restituirà un numero reale. Questo numero reale si ottiene così: se fissiamo l'attenzione su e su vettori sarà Nell'esempio con la proiezione, i vettori perderanno l'ultima componente, cioè passeranno da a , e data una forma su , sarà Se ti servono altri chiarimenti, chiedi pure!
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Poi vorrei chiederti un esempio più "concreto", cioè con una funzione liscia e una k-forma esplicita. O comunque se sai dove posso andare a vedere. - Alberto Rutigliano 29 Maggio 2015
Una delle prime domande che feci al mio professore di geometria differenziale fu "ma mi fa un esempio di pull-back?", quindi ti capisco eccome ;P Concretizziamo. Voglio fare il pull-back di una forma da a , lungo una certa applicazione. Prima di tutto, l'applicazione: prendiamo con coordinate e con coordinate ; l'applicazione che scelgo misura la distanza al quadrato dall'asse e la distanza al quadrato dall'asse : espressa in coordinate, sarà cioè e . L'applicazione lineare tangente è la Jacobiana di questa mappa (non siamo pazzi e scegliamo, per derivare, le stesse coordinate in cui viene espressa): è quindi la matrice Le colonne di sono l'immagine dei vettori della base mobile , , nel punto di coordinate : chiamando per brevità la matrice jacobiana, avremo dunque Adesso dobbiamo scegliere una forma su ; la scelta è un po' limitata, infatti lo spazio delle forme su ha dimensione : sarà un multiplo, per una funzione, del determinante (due per due). Allora, come forma definita su scelgo il determinante moltiplicato per la distanza dall'origine: dove al posto dei ci mettiamo due vettori di . Ora abbiamo tutti gli ingredienti per calcolare ! Ricordiamo che è ancora una forma, ma questa volta su : prende in ingresso due vettori (di dimensione tre) e restituisce un numero reale. I due vettori li chiamiamo e , di componenti e , e li pensiamo applicati nel punto di coordinate generiche . Pronti... via! \begin{aligned} \Phi^* \omega_{(x_1, x_2, x_3)} \big( \vec{v} , \vec{w} \big) &= \omega_{\Phi (x_1,x_2,x_3)} \big( J\cdot\vec{v}, J \cdot \vec{w} \big) = & & \text{per definizione di pull-back} \\ & =\omega_{(x_1^2 + x_2^2, x_2^2 + x_3^2)}\big( J\cdot\vec{v}, J \cdot \vec{w} \big) = & & \text{per definizione di }\\ & = \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_2^2 + x_3^2)^2} \det \Big( J\cdot\vec{v} \ \Big| \ J\cdot\vec{w} \Big) =& & \text{per definizione di } \\ & \Big[ \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_2^2 + x_3^2)^2} = : r \Big]& & \\ & = r \det\left( \right) & & \text{ lineare}\\ & [\dots] \text{ dopo un po' di conti} & & \\ & = 4r \sum_{i < j} x_i x_j \left| \right| & & \text{con compresi tra e } \end{aligned} I conti sono tanti, come puoi vedere, ma non sono troppo complicati, una volta che hai capito che cosa devi fare. Ti consiglio di applicare le definizioni con applicazioni e forme semplici: le più semplici da considerare sono le -forme di dimensione massima, che sono multipli (per un funzione) dei determinanti; per le applicazioni prenderei delle espressioni polinomiali di grado basso: sono per forza lisce e le derivate si fanno facilmente! Fammi sapere se ti servono altri esempi :3
Innanzi tutto, grazie mille :) Però non mi è proprio chiara una cosa. Non trovo i differenziali. Cioè, il risultato del tuo pullback è un numero. Dove sono spariti i differenziali? - Alberto Rutigliano 07 Giugno 2015
Ah, i differenziali. Il risultato della mia operazione è un numero perché ho applicato la forma a due vettori: una forma prende in ingresso vettori e restituisce un numero reale. Prendiamo con coordinate . Abbiamo allora le forme , che in ogni punto associano ad un vettore tangente una delle sue componenti: per esempio, se prendiamo come vettore tangente il gradiente di una funzione liscia , avremo che . forme, forme e in generale forme si possono esprimere in funzione dei prodotti esterni delle forme : una forma si può esprimere come combinazione lineare di , una forma come , sino alle forme di rango massimo su , che sono multiple di . Nell'esempio precedente, la forma su (con coordinate ) si può scrivere come mentre il suo pull-back lungo , in coordinate su è Tutto chiaro? Fammi sapere :3 - Giovanni Barazzetta 09 Giugno 2015
dove, ad esempio, e poi faccio i prodotti esterni, giusto? - Alberto Rutigliano 09 Giugno 2015
Si, è quello che ho fatto facendo la jacobiana: se guardi la prima riga della matrice , i suoi elementi corrispondono ai coefficienti della tua forma. Qui i differenziali sono facili perché è polinomiale, e se vuoi puoi anche fare come hai detto tu :3 - Giovanni Barazzetta 11 Giugno 2015
Graaaazie mille :) - Alberto Rutigliano 11 Giugno 2015