geometria

Ciao Calogero! Dunque, una cosa non capisco. Tu affermi che la scala deve avere dei gradini con base $C_1$ e altezza $C_2$: di conseguenza, l'inclinazione della scala è già determinata. Per trovarla possiamo utilizzare, per esempio, le funzioni goniometriche inverse (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html), in particolare la tangente: se chiamiamo $\alpha$ l'angolo di inclinazione di un gradino siffatto, scopriamo che$$ \alpha = \arctan \left( \frac{2.82}{4.11} \right) \approx 34^\circ 27' 36'' $$Questo rispetta i tuoi vincoli ($\alpha < 35^\circ$), ma rende quasi superfluo indagare la forma precisa della piramide: costruiamo una scala con quelle specifiche alta $60 \text{ m}$, e calcoliamo, abbastanza facilmente, quanto è lunga (circa $106 \text{ m}$) e da quanti gradini è costituita (circa $2128$ gradini). Cerchiamo invece di calcolare l'inclinazione "peggiore" della piramide. Ossia: immaginiamo, dalla cima, di tendere un segmento di retta sino alla base. Siccome i "gradoni" sono a ripidità crescente (almeno così io ho capito), in questo modo non corriamo mai il rischio di incassarci in qualche terrazza. Per far questo, il piano è: calcoliamo la distanza orizzontale che intercorre tra (lo spigolo de) la cima e il terreno, dividiamo l'altezza per questa distanza e calcoliamo l'arcotangente del rapporto ottenuto (come abbiamo fatto per il singolo gradino). Questa distanza è data dalle $9$ terrazze di $5$ metri (che si ottengono, come dici tu, per differenza tra i raggi dei tronchi di cono successivi), e da $10$ proiezioni sull'orizzontale dei vari apotemi - possiamo usare qualche formula trigonometrica (le riassumiamo tutte qui https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) e, dopo un po' di conti, otteniamo una lunghezza totale (orizzontale) di $123.85 \text{ m}$, il che produce un angolo d'inclinazione $\vartheta$ di circa $25^\circ 51'$. Questo rispetta il tuo vincolo ($ \vartheta > 25^\circ $), ma è di molto inferiore all'inclinazione delle scala costruita con quei gradini. Quindi? Possiamo inserire dei raccordi orizzontali nella scala? La scala viene costruita su ciascun gradone? Mi trovo un po' in difficoltà :( Un saluto e buona serata!

Ciao Giovanni, ti ringrazio per avermi dedicato il tuo tempo e mi scuso per la carenza di dati, purtroppo la materia fa emergere i miei limiti quindi cerco di spiegarmi come posso, anche se non sempre riesco a essere chiaro come dovrei. A ogni modo la soluzione che mi proponi (106 m - 2128 gradini) soddisfa già alla grande le mie esigenze, ma per fugare i tuoi ben legittimi dubbi aggiungo che la costruzione della scalinata ricalca fedelmente il profilo della piramide che, come hai correttamente intuito, è terrazzata e a ripidità crescente. Ancora una volta sono in debito con te: hai brillantemente risolto sia il problema che le mie perplessità (ho impiegato ore su ore per cercare di capire come calcolare la lunghezza della scala solo per scartare ogni risultato come "poco plausibile" e convincermi che fosse necessaria una seduta spiritica per interpellare Albert Einstein, credendo che per giungere alla soluzione fosse necessario eseguire dei calcoli "fuori dal mondo", a dimostrazione che nessuno sa complicarsi la vita bene quanto me) insegnandomi delle cose che ignoravo in modo molto semplice. Se a scuola avessi avuto insegnanti come te magari adesso sarei pure laureato. MANY THANKS MY GREAT MASTER!!! Buona serata anche a te. - calogero salvaggio 25 Novembre 2016

Ciao di nuovo Giovanni. Stamattina ho riesaminato a mente un po' più lucida la soluzione che mi hai offerto ieri. In effetti con la scalinata di 106 m vado di certo a incassarmi nei gradoni, sicché la logica mi spinge a considerare con maggiore attenzione il tuo ottimo piano di tendere un segmento dallo spigolo della cima al terreno per evitare, come lucidamente mi facevi notare, di incassarci nelle terrazze. Seguendo il tuo ragionamento mi pare di capire che la distanza orizzontale dallo spigolo della cima al terreno corrisponda al raggio della base maggiore del basamento della piramide, ossia 207,8 m, al quale va sottratto il raggio della base minore del vertice, cioè 5 m; di conseguenza otteniamo una proiezione di 202.8m. Dividendo l'altezza (i suddetti 60 m) per questa distanza otteniamo come risultato 0.295858 approssimabile, se vogliamo, a 0.296. Qui iniziano le mie difficoltà: ho visitato le pagine che mi hai cortesemente suggerito, purtroppo però le funzioni trigonometriche vanno al di là del mio scarso livello (anche se non dispero col tempo e l'impegno di fare dei progressi che mi portino ad affrontarle abbastanza agevolmente) sicché è stato come cercare di interpretare uno scritto in lingua aliena. Ho provato allora a calcolare l'arcotangente del rapporto avvalendomi di excel, il quale mi ha dato un risultato approssimabile a 0.288 rad che ho convertito in 16°30'4'', cioè molto inferiore, come mi hai prontamente fatto notare (beato te che l'hai capito subito. Porta pazienza) alle specifiche con le quali siamo partiti. Fortunatamente hai corretto il mio errore di progettazione (sta' tranquillo non sono un costruttore molto maldestro quindi nessuno rischia la vita a causa mia. :) ) dandomi modo di virare sulla costruzione di una più confacente "mini-cordonata" (inclinazione: > 10° - <20°) con le alzatine di 1.5 cm. A questo punto il mio dubbio è che le pedate non risultino tutte di egual misura sicché, in tal caso, calcolare il numero dei gradini diverrebbe una storia infinita. Spero di non starmi ancora una volta complicando la vita senza un vero motivo. Con le nuove specifiche che tipo di risultati possiamo ottenere in risposta ai quesiti che richiedono lunghezza della scalinata (adesso cordonata) e numero di gradini? Per favore aiutami se puoi perché comincio a capirci meno di prima e a fare molta più confusione. Ti ringrazio intanto per avermi indirizzato verso la strada giusta e rimango a disposizione per ulteriori chiarimenti. Ciao Giovanni, buona giornata. - calogero salvaggio 25 Novembre 2016