geometria analitica dello spazio
Scrivi l'equazione della retta passante per P(2;-3;6) e perpendicolare al piano avente equazione x-2y+3z-1=0. Determina quindi la distanza dell'origine da tale retta.
il 03 Giugno 2015, da giulia carli
Ciao Giulia. Per prima cosa, passiamo a lavorare con il piano che ha equazione $$x-2y+3z=0$$che altri non è che il piano parallelo a quello dato, passante per l'origine. Il motivo di questa scelta è che un vettore perpendicolare a questo piano ha le stesse componenti di quello perpendicolare al piano di partenza, a meno di traslazioni, e fare i conti in questo caso è molto più facile! Usiamo infatti un piccolo trucco: si può mostrare (abbastanza facilmente, se vuoi ti mostro i passaggi) che se un piano è descritto da un'equazione $ax + by + cz = 0$ con $a \neq 0$, allora il vettore $v = \left ( \begin{smallmatrix} a \\ b \\ c \end{smallmatrix} \right )$ è perpendicolare al piano dato. Nel nostro caso, quindi, la direzione della retta perpendicolare è determinata dal vettore $\left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{smallmatrix} \right )$; per ottenere le equazioni parametriche della retta è sufficiente traslare questo vettore nel punto $P$, ottenendo le equazioni $$\begin{cases} x = t + 2 \\ y= -2t-3 \\z=3t+6\end{cases}$$Per determinare la distanza dell'origine da questa retta dobbiamo per prima cosa trovare il piano perpendicolare alla retta e passante per l'origine. Questo è facile: è proprio il piano $x-2y+3z=0$! :) L'intersezione $Q$ tra questo piano e la retta è proprio il punto che realizza la distanza della retta dall'origine, ovvero: $QO$ è la distanza tra la retta e l'origine $O$ (questo è un fatto generale legato a considerazioni di Geometria dello spazio). Dopo un po' di conti dovrebbe risultarti $$Q \equiv \left ( \begin{matrix} \frac{1}{7} \\ \frac{5}{7} \\ \frac{3}{7} \end{matrix} \right ) $$e di conseguenza la distanza $\overline{QO}$ è data da $$\overline{QO} = \sqrt{ \left ( \frac{1}{7} \right )^2 + \left ( \frac{5}{7} \right )^2 + \left ( \frac{3}{7} \right )^2} = \sqrt{\frac{5}{7}}$$Ce l'abbiamo fatta... :D Se qualcosa non è chiaro, dimmi pure!