geometria analitica dello spazio
Scrivi l'equazione della retta passante per P(0;1;-4) e parallela alla retta di equazioni parametriche (sistema): x=1-t y=3+t z=5+2t Determina quindi la distanza del punto Q(-1;0;0) da tale retta.
il 03 Giugno 2015, da giulia carli
Ciao Giulia. La retta che mi hai dato è - per come è costruita parametricamente - la retta che passa per il punto $\left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{smallmatrix} \right )$ e che ha direzione determinata dal vettore di componenti $\left ( \begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix} \right )$. Quindi una retta parallela a essa avrà la stessa direzione, e "punto base" differente; dato che vogliamo che questo punto sia $P$, allora la retta che cerchiamo avrà equazioni parametriche $$r: \quad \begin{cases} x = -t \\ y = t+1 \\ z = 2t-4 \end{cases}$$Per determinare la distanza del punto $Q$ dalla retta $r$ appena trovata, bisogna costruire il piano $\pi$ perpendicolare a $r$ passante per $Q$, trovare il punto di intersezione $R$ e determinare la distanza $\overline{QR}$, che è proprio quello che stiamo cercando. Si mostra che il piano $\pi$ ha equazione $$\pi: \quad -x+y+2z-1=0$$e che il punto di intersezione è $R \equiv \left ( \begin{smallmatrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} \\ -\frac{4}{3} \end{smallmatrix} \right )$; quindi $$\overline{QR} = \sqrt{ \left ( -\frac{4}{3} + 1 \right )^2 + \left ( \frac{7}{3}\right )^2 + \left ( -\frac{4}{3} \right )^2} = \frac{\sqrt{66}}{3}$$Come vedi ho tagliato un po' sui conti, ma spero che il procedimento sia chiaro :D Fammi sapere se hai capito tutto!