Geometria e algebra lineare
Salve a tutti, l'esercizio recita: Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R (O, iˆ, jˆ, kˆ), si considerino il piano π di equazione x+2y-z=1 e il punto A= (1,2,-1): a) trovare la retta per A perpendicolare a π: ho ricavato la direzione perpendicolare del piano dalla sua eq cartesiana, ovvero (1,2,-1) e ho scritto in forma parametrica il sistema affidando al parametro a la direzione della retta, ovvero la direzione perpendicolare al piano e imponendo il passaggio per il punto A. quindi le eq.cartesiane sono y=2x e z=-x; b) trovare il piano O passante per A e parallelo a π: ho demplicemente imposto il passaggio per A al piano di equazione già nota ed è risultato O: x+2y-z=6; c) La distanza tra i piani: dunque avendo già il punto A appartenente al piano O, ho cercato il punto di intersezione tra la retta perpendicolare ai due piani passante per A risolvendo il sistema formato dal piano π e le eq. della retta r. il punto di intersezione P è (1/6,1/3,-1/6), dunque la distanza tra i due piani è pari alla distanza tra i due punti, ovvero radice di 11/6. I calcoli sono corretti? inoltre alle richieste: Le intersezioni del piano π con gli assi coordinati; La direzione della retta s intersezione di π con il piano x, y: cosa intende esattamente l'esercizio?
il 13 Giugno 2015, da Mattia Mangia
Ciao Mattia, rieccoci qui :D Allora, posso dirti che tutti i procedimenti che hai adottato vanno benissimo, ma purtroppo devi aver sbagliato qualche conto nel calcolare la distanza tra $A$ e $P$: infatti a me risulta $$\overline{AP} = \sqrt{ \left ( \frac{1}{6} - 1 \right )^2 + \left ( \frac{1}{3} - 2 \right )^2 + \left ( -\frac{1}{6} + 1 \right )^2} = \frac{5\sqrt{6}}{6}$$A parte questo è tutto giusto! Passiamo adesso alle richieste che non ti sono chiare. Le intersezioni di $\pi$ con gli assi coordinati sono semplicemente i punti di intersezione di $\pi$ con l’asse $x$, l’asse $y$ e l’asse $z$. Per trovare i punti di intersezione con l’asse $x$, per esempio, devi semplicemente porre $y=0$ e $z=0$ nell’equazione di $\pi$; in questo modo otteniamo il punto $P_x = (1, 0, 0)$ (e altrettanto facilmente puoi trovare $P_y$ e $P_z$). Invece nella seconda richiesta viene richiesto sostanzialmente di trovare l’equazione parametrica della retta $s$ ottenuta intersecando il piano $\pi$ con il piano determinato dagli assi $x$ e $y$ che viene chiamato brevemente “piano $xy$”. Il piano $xy$ è descritto dall’equazione $z=0$, e quindi la retta $s$ ha equazioni cartesiane $$s: \ \begin{cases} z=0 \\ x+2y = 1 \end{cases}$$che in equazioni parametriche diventa $$s: \ \begin{cases} x=-2t + 1 \\ y=t \\ z=0 \end{cases}$$La direzione di $s$ è data dunque dai coefficienti del parametro $t$, ed è il vettore $(-2, 1, 0)$. Ecco fatto! Tutto chiaro? Se hai qualcosa da chiarire fammi sapere, noi siamo qui apposta :)
Perfetto grazie mille! si semplicemente nel calcolare la distanza tra i due punti ho fatto un po di confusione ed ho utilizzato il metodo per calcolare la norma del vettore. per il resto va bene, avevo pensato che i due punti significassero ciò. Ormai manca una settimana all'esame di geometria, mi farò sentire ancora! :D - Mattia Mangia 16 Giugno 2015
Noi ci siamo, come sempre ;) - Michele Ferrari 16 Giugno 2015