gruppi e sottogruppi
Sia G un gruppo di ordine 25. Provare che G ammette almeno un sottogruppo d'ordine 5. Provare inoltre che se G ammette solo un sottogruppo d'ordine 5, allora G risulta ciclico.
il 28 Maggio 2015, da Agata Damiano
Ciao Agata! Il primo teorema di Sylow per i gruppi finiti afferma: se $p$ è un numero primo tale per cui $|G| = p^k\cdot m$, dove $|G|$ è l’ordine di un gruppo $G$ e $k, m$ sono numeri naturali, allora esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $p^n$, dove $n$ è un qualsiasi numero naturale minore di $k$. Il teorema applicato al nostro caso ci assicura che esista un sottogruppo di ordine $p=5$, dato che $|G| = 25 = p^2$, che è proprio la prima richiesta. Per dimostrare la seconda parte, procediamo per assurdo: supponiamo che il gruppo $G$ non sia ciclico. Prendiamo un qualsiasi elemento $a$ di $G$ diverso dall’unità; il sottogruppo $< a >$ generato da $a$ ha necessariamente ordine $5$, per il teorema di Lagrange della teoria dei gruppi (non può essere $1$ perché $a \neq 1$, e non può essere $25$, altrimenti $G$ sarebbe ciclico). Scegliamo adesso un elemento $b$ di $G$ che non appartenga a $< a >$: anche il sottogruppo $ < b >$ ha necessariamente ordine $5$ per le stesse ragioni esposte prima. Siamo quindi in una situazione assurda: l’ipotesi è che esista solo un sottogruppo di ordine $5$ dentro $G$, ma noi ne abbiamo trovati due ($< a >$ e $< b >$). Concludiamo che c’è un assurdo, e che $G$ è per forza ciclico. Spero che questa risposta ti sia stata di aiuto: fammi sapere se c’è altro da chiarire! Buona giornata :)