Induzione

Per ogni n >= 7 provare per induzione 2^n > n^2 + 4n + 5 Mi serve una spiegazione dettagliata dei vari passaggi, così che possa capire questo maledetto principio!


il 17 Ottobre 2015, da Andrea Manisi

Giovanni Barazzetta il 20 Ottobre 2015 ha risposto:

Ciao Andrea! Allora, il principio di induzione funziona così: 1) Provi che una certa proposizione è vera per un certo $n$ (nel nostro caso, sarà $n=7$) 2) Assumi che detta proposizione sia vera per $n$ generico (la cosiddetta "ipotesi di induzione") 3) Usando 1) e 2), dimostri che la proposizione è vera per $n+1$. Allora, controlliamo che sia vera per $n=7$. Questo è facile:$$2^7 = 128 > 7^2 + 4\ 7 + 5 = 49 + 28 + 5 = 82$$Ora assumiamo che $2^n > n^2 + 4\ n + 5$ e vediamo di provare, con quello che conosciamo, che $2^{n+1} > (n+1)^2 + 4(n+1) + 5$. Espandiamo questa espressione: $2^n \cdot 2 > n^2 + 2n + 1 + 4n +4 +5 = n^2 + 4n + 5 + \ 2n +5$, dove ho messo in evidenza il polinomio che ci interessa. D'altra parte, noi sappiamo che $2^n > n^2 + 4n + 5$, e moltiplicando tutto per due otteniamo che $2^n \cdot 2 > n^2 + 4n + 5 \ + \ n^2 + 4n + 5$: confrontando questa espressione con quella che dobbiamo provare, risulta sufficiente provare che $ n^2 + 4n + 5 > 2n +5$, almeno per ogni $n$ dopo $7$. Se così fosse infatti avremmo che $2^n \cdot 2 > n^2 + 4n + 5 \ + \ n^2 + 4n + 5 > n^2 + 4n + 5 \ + \ 2n +5$, il che prova quello che dovevamo dimostrare. Per dimostrare che $n^2 + 4n + 5 > 2n +5 \ \forall n \geq 7$ possiamo usare il principio di induzione :D Ma questo lo lascio fare a te, è molto più semplice di una disequazione esponenziale. Spero che adesso ti sia tutto chiaro :3 Buona giornata!


Io provando l'ho impostato in quest'altro modo...ma non so se è giusto! PASSO BASE P (7) : 2^7 > 7^2 + 4(7) + 5 128 > 82 VERO PASSO INDUTTIVO: Assumo vera 2n>n2+4 n+5 PASSO CONCLUSIVO: 2^n + (n+1) > n^2 + 4n +5 + (n+1) 2^n + n+1 > n^2 + 4n +5 + n + 1 2^n + n+1 > n^2 + 5n + 6 2^n > n^2 + 5n + 6 - n - 1 2^n > n^2 + 4n + 5 che è uguale al passo induttivo....E' corretto questo procedimento?? Fatemi sapere - Andrea Manisi 20 Ottobre 2015

Attenzione! Quello che tu hai fatto è semplicemente aggiungere $n+1$ ad ambo i membri del passo induttivo, il che ovviamente ti riporta al passo induttivo. Invece, occorre calcolare $P(n+1)$, cioè sostituire, nell'espressione che hai usato al passo induttivo, ogni occorrenza di $n$ con $n+1$. - Giovanni Barazzetta 20 Ottobre 2015

e sostituendo.....cosa dovrei ottenere? - Andrea Manisi 21 Ottobre 2015