Integrale
Buongiorno potete aiutarmi con questo integrale indefinito? Integrale di ( (x*arcosin x) / (radice quadrata di (1-x^2)) dx Io ho pensato di dividerlo in due integrali. Il primo integrale xarcosinx ( che faccio per parti) * integrale di (1-x^2)^-1/2 ma poi non mi ritrovo a farlo. Forse sbaglio nel fare per parti
il 10 Marzo 2016, da Leonardo Marzola
Ciao Leonardo! C'è una strada sicuramente più semplice. Scrivo l'integrale perché così vediamo se siamo sulla stessa pagina:$$ \int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$Prima di integrare per parti, direi di fare una piccola sostituzione. Abbiamo la funzione $\arcsin$, l'arcoseno, che come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html è la funzione inversa del seno, $\sin$. La sua derivata si può calcolare con la formula per la derivazione delle funzioni inverse, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/derivata-di-funzione-inversa-formule-calcolo-7164.html, e si trova abbastanza facilmente che$$ \left( \arcsin(x) \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$Ora, proprio questa espressione compare sotto segno di integrale (a meno di un segno, che tanto è una costante): possiamo allora fare la sostituzione $t = \arcsin (x)$ e l'integrale si trasforma in questo modo:$$ \begin{array}{rcl} \arcsin(x) & = & t \\ \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} & = & dt \\ x & = & \sin(t) \end{array} \quad \Rightarrow \quad \int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int t \sin(t) dt $$Adesso possiamo procedere per parti! Seguiamo il procedimento riassunto qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html. Ponendo $g'(t) = \sin(t)$ e $f(t) = t$, abbiamo (occhio ai segni)$$ \int t \sin(t) dt = -t \cos(t) + \int \cos(t) dt = -t \cos(t) + \sin(t) + C$$Adesso risostituiamo al posto di $t$ $\arcsin(x)$, sfruttiamo l'identità trigonometrica (che si può ricavare da quelle scritte qui https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) $ \cos (\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} $, e otteniamo infine$$ \text{Integrale } = - \arcsin(x) \sqrt{1 - x^2} + x + C$$Spero sia tutto chiaro! Il trucco sta sempre nel notare la derivata ^,..,^ Se hai dubbi, chiedi pure. Ciao e buona giornata!
Perfetto! Grazie mille! - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016
Un'altra domanda se puoi senza che ne creo una nuova che intaso solo la bacheca. Ho un problema in questa equazione differenziale: y''-2y'+y= (1/x)*e^x Non riesco a capire come posso risolverla. - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016