Integrale

Ciao Leonardo! C'è una strada sicuramente più semplice. Scrivo l'integrale perché così vediamo se siamo sulla stessa pagina:$\int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$Prima di integrare per parti, direi di fare una piccola sostituzione. Abbiamo la funzione $\arcsin$, l'arcoseno, che come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html è la funzione inversa del seno, $\sin$. La sua derivata si può calcolare con la formula per la derivazione delle funzioni inverse, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/derivata-di-funzione-inversa-formule-calcolo-7164.html, e si trova abbastanza facilmente che$\left( \arcsin(x) \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$Ora, proprio questa espressione compare sotto segno di integrale (a meno di un segno, che tanto è una costante): possiamo allora fare la sostituzione $t = \arcsin (x)$ e l'integrale si trasforma in questo modo:$\begin{array}{rcl} \arcsin(x) & = & t \\ \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} & = & dt \\ x & = & \sin(t) \end{array} \quad \Rightarrow \quad \int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int t \sin(t) dt$Adesso possiamo procedere per parti! Seguiamo il procedimento riassunto qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html. Ponendo $g'(t) = \sin(t)$ e $f(t) = t$, abbiamo (occhio ai segni)$\int t \sin(t) dt = -t \cos(t) + \int \cos(t) dt = -t \cos(t) + \sin(t) + C$Adesso risostituiamo al posto di $t$ $\arcsin(x)$, sfruttiamo l'identità trigonometrica (che si può ricavare da quelle scritte qui https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) $\cos (\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$, e otteniamo infine$\text{Integrale } = - \arcsin(x) \sqrt{1 - x^2} + x + C$Spero sia tutto chiaro! Il trucco sta sempre nel notare la derivata ^,..,^ Se hai dubbi, chiedi pure. Ciao e buona giornata!

Perfetto! Grazie mille! - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016

Un'altra domanda se puoi senza che ne creo una nuova che intaso solo la bacheca. Ho un problema in questa equazione differenziale: y''-2y'+y= (1/x)*e^x Non riesco a capire come posso risolverla. - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016