Integrale

Buongiorno potete aiutarmi con questo integrale indefinito? Integrale di ( (x*arcosin x) / (radice quadrata di (1-x^2)) dx Io ho pensato di dividerlo in due integrali. Il primo integrale xarcosinx ( che faccio per parti) * integrale di (1-x^2)^-1/2 ma poi non mi ritrovo a farlo. Forse sbaglio nel fare per parti


il 10 Marzo 2016, da Leonardo Marzola

Giovanni Barazzetta il 11 Marzo 2016 ha risposto:

Ciao Leonardo! C'è una strada sicuramente più semplice. Scrivo l'integrale perché così vediamo se siamo sulla stessa pagina:xarcsin(x)1x2dx \int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dxPrima di integrare per parti, direi di fare una piccola sostituzione. Abbiamo la funzione arcsin\arcsin, l'arcoseno, che come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html è la funzione inversa del seno, sin\sin. La sua derivata si può calcolare con la formula per la derivazione delle funzioni inverse, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/derivata-di-funzione-inversa-formule-calcolo-7164.html, e si trova abbastanza facilmente che(arcsin(x))=11x2 \left( \arcsin(x) \right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} Ora, proprio questa espressione compare sotto segno di integrale (a meno di un segno, che tanto è una costante): possiamo allora fare la sostituzione t=arcsin(x)t = \arcsin (x) e l'integrale si trasforma in questo modo:arcsin(x)=tdx1x2=dtx=sin(t)xarcsin(x)1x2dx=tsin(t)dt \begin{array}{rcl} \arcsin(x) & = & t \\ \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} & = & dt \\ x & = & \sin(t) \end{array} \quad \Rightarrow \quad \int \frac{x \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int t \sin(t) dt Adesso possiamo procedere per parti! Seguiamo il procedimento riassunto qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html. Ponendo g(t)=sin(t)g'(t) = \sin(t) e f(t)=tf(t) = t, abbiamo (occhio ai segni)tsin(t)dt=tcos(t)+cos(t)dt=tcos(t)+sin(t)+C \int t \sin(t) dt = -t \cos(t) + \int \cos(t) dt = -t \cos(t) + \sin(t) + CAdesso risostituiamo al posto di tt arcsin(x)\arcsin(x), sfruttiamo l'identità trigonometrica (che si può ricavare da quelle scritte qui https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) cos(arcsin(x))=1x2 \cos (\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} , e otteniamo infineIntegrale =arcsin(x)1x2+x+C \text{Integrale } = - \arcsin(x) \sqrt{1 - x^2} + x + CSpero sia tutto chiaro! Il trucco sta sempre nel notare la derivata ^,..,^ Se hai dubbi, chiedi pure. Ciao e buona giornata!


Perfetto! Grazie mille! - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016

Un'altra domanda se puoi senza che ne creo una nuova che intaso solo la bacheca. Ho un problema in questa equazione differenziale: y''-2y'+y= (1/x)*e^x Non riesco a capire come posso risolverla. - Leonardo Marzola 12 Marzo 2016