Integrali

Ciao Diamante! In generale, come spiega questo video ( https://library.weschool.com/lezione/calcolo-integrali-area-sottesa-curva-funzione-grafico-rette-asse-ascisse-equazioni-7599.html ) l’area $R$ compresa tra due curve $f(x)$ e $g(x)$ nell’intervallo $[a, b]$ è data dall’integrale $$R = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx.$$Se $f(x) \geq g(x)$ in tutto $[a,b]$ allora l’integrale è non negativa, coerentemente col fatto che stiamo misurando un’area, che deve essere necessariamente positiva o nulla. Dato che nell’intervallo $[0,4]$ abbiamo $\sin \left ( \frac{\pi}{2}x \right ) \geq x^3-16x$, nel nostro caso l’integrale da risolvere è il seguente:$$R = \int_0^4 \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{2}x \right ) - x^3+16x \right ]dx.$$Svolgendo i conti, si vede che $R = 64$. Per quando riguarda la seconda richiesta, devi immaginarti la situazione nel seguente modo. La piscina ha una forma un po’ strana: l’idea è che “affettando” il solido che la modellizza con piani perpendicolari all’asse $x$, e fissando un certo valore $x_0 \in [0,4]$, ottieni sempre una sezione a forma di rettangolo, con dimensioni $h = 5-x_0$ (la “profondità” del rettangolo: ho cambiato di segno $x-5$ per fare in modo che $h$ fosse positiva) e $l = \sin \left ( \frac{\pi}{2}x_0 \right ) - x_0^3+16x_0$ (la “larghezza” del rettangolo). Una volta che hai capito questo passaggio (e non è facilissimo, le prime volte che ci si pensa) allora è abbastanza logico pensare che il volume della piscina è dato dalla “somma infinita” di tutti questi rettangoli: in Matematica, questa somma è di fatto un integrale! Dato che l’area di un qualsiasi rettangolo è dato dal prodotto $h \cdot l$, al variare di $x$, allora il volume della nostra piscina è dato dall’integrale $$V = \int_0^4 (5-x) \cdot \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{2}x \right ) - x^3+16x \right ]dx$$Svolgendo i conti, si vede che questo integrale misura $V = \frac{8}{\pi} + \frac{2752}{15}$. Spero davvero che sia tutto chiaro, ma l’argomento non è semplicissimo: fammi sapere se ci sono problemi! Un saluto :)

Ti ringrazio per la risposta, anche se mi risulta difficile applicare il concetto di integrale dall'area al volume... Ad ogni modo avrei un'altra domanda da farti: Essendo l'area descritta da sin(π2x) nell'intervallo [0;4] nulla, è possibile utilizzare soltanto −x3+16x nel calcolo dell'area o mi cambia qualcosa ai fini del volume? (Perchè in prossimità delle ordinate c'è una profondità maggiore) - Diamante Munno 30 Maggio 2015