Integrali
Soluzione del seguente integrale: e(elevatoxquadro) tutto fratto radice quadrata di x+1
il 29 Maggio 2015, da Elio Aureli
Ciao Elio. Se l'integrale che mi stai chiedendo di risolvere è $$\int \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x+1}}dx$$allora ti devo comunicare che (con i mezzi che possiedo io per verificarlo) questo integrale non risulta esprimibile con funzioni elementari! In poche parole, questo integrale indefinito non si può risolvere esprimendo il risultato con le funzioni "classiche", come quelle trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, polinomiali e così via. La stessa situazione accade in realtà per moltissimi integrali, come in questo esempio "famoso": $\int e^{-x^2}dx$ (la funzione integranda è la cosiddetta Gaussiana: https://library.weschool.com/lezione/dimostrare-sperimentalmente-grafico-curva-gaussiana-media-statistica-8839.html). Chiunque ti abbia assegnato questo integrale da risolvere, beh... Ha giocato sporco :D
Si è proprio vero ha giocato sporco tanto !! Con la serie di Teylor potrebbe essere risolto? - Elio Aureli 29 Maggio 2015
Possiamo procedere in questo modo. Supponiamo di trovare un punto $x_0$ del dominio della funzione integranda (che in questo caso sono tutti i numeri reali strettamente maggiori di $-1$) tale per cui esista la serie di Taylor centrata in $x_0$. Allora in un certo intervallo aperto contenente $x_0$ (che dipende dalla funzione che stiamo considerando) possiamo esprimere la funzione come una serie polinomiale, e quindi integrarla membro a membro: ciò che otteniamo è un'altra serie polinomiale, che è proprio la serie di Taylor dell'integrale della funzione di partenza centrata in $x_0$. Quindi sì, passando alla serie di Taylor possiamo cavarcela, in qualche modo! :) - Michele Ferrari 04 Giugno 2015