Limite 0/0

Ciao Luca! Riscrivo il limite per comodità: $$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2}{\ln (x+1) \cdot \sin (2-x) \cdot \ln (x-1)}$$Innanzitutto ti dico come avrei risolto io l’esercizio. Riscrivo il limite in modo più adatto al metodo che voglio usare: $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\ln (x+1)} \cdot \frac{x-2}{-\sin (x-2)} \cdot \frac{x-2}{\ln (1+(x-2))}$$La ragione per cui ho modificato le funzioni coinvolte è che ho riconosciuto che all’interno del limite potevano esserci dei limiti notevoli (ecco qua una lista: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html) dato che al denominatore sono presenti la funzione $\sin(x)$ e la funzione $\ln(x)$, che sono in genere “protagoniste” di questo tipo di limiti. In effetti siamo fortunati perché il secondo e il terzo fattore della moltiplicazione sono proprio dei limiti notevoli generalizzati: il primo fa $-1$ e il secondo fa $1$. Quindi il limite si svolge così: $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\ln (x+1)} \cdot \frac{x-2}{-\sin (x-2)} \cdot \frac{x-2}{\ln (1+(x-2))} = \frac{1}{\ln(2+1)} \cdot ( -1 ) \cdot 1 = - \frac{1}{\ln(3)}$$Se hai bisogno di chiarimenti sul modo in cui ho trasformato i vari fattori all’interno del limite, o sul perché valgono quei limiti notevoli, chiedi pure! In ogni caso direi che applicare de l’Hôpital a questo limite diventa un po’ lungo, considerato anche il fatto che bisognerebbe applicarlo due volte (alla prima applicazione la forma di indecisione rimane ancora). Non so infatti da dove ti sia uscito quel numero, ma ti conviene ricontrollare i conti :) Buona giornata, a presto!

Grazie della risposta, ho capito il metodo che hai usato. Ma ho dei problemi a scoprire i limiti notevoli. Inoltre mi ha fregato anche il fatto che pensassi che i limiti notevoli potevano tendere soltanto a 0, a 1 o a + o - infinito. - Luca Carta 06 Luglio 2015

Controllando i conti, ora mi è tutto più chiaro. Grazie ancora - Luca Carta 06 Luglio 2015

Prego! In effetti ti capisco, non sempre è facile vedere i limiti notevoli: il metodo che uso io è sostanzialmente quello di provare a "tirarli fuori" con passaggi algebrici, specialmente se vedo funzioni come $\sin(x)$, $\ln(x)$, ma anche espressioni del tipo $\sqrt{1+x}$, $1 - \cos(x)$ e così via. Comunque, i limiti notevoli che si studiano di solito non valgono mai $+\infty$ o $-\infty$, ma sono valori finiti, come puoi vedere dalla lista che ti ho fornito! Piuttosto, è importante notare come le manipolazioni dei limiti notevoli portino a ricavare altri limiti notevoli: nel nostro esempio abbiamo in effetti utilizzato il reciproco di due limiti notevoli, i quali - dato che valgono entrambi $1$ - continuano a valere $1$. Se hai altri esercizi che ti creano problemi facci sapere :) - Michele Ferrari 06 Luglio 2015