Limite di una funzione logaritmica
Buongiorno ho questo limite (notevole?) lim_(x->0) x/(sin(x)+x)=1/2 Come potrei dimostrarlo senza applicare l'Hopital? Grazie e saluti Giovanni C.
il 30 Gennaio 2016, da Giovanni Cappellotto
Ciao Giovanni. A partire dalle considerazioni fatte sull'algebra dei limiti (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/limite-di-prodotto-e-di-rapporto-di-funzioni-spiegazione-ed-esempi-7437.html) si può facilmente dimostrare che $$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l} \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = l$$Prendiamo quindi la nostra funzione, che è $f(x) = \frac{x}{\sin(x)+x}$, e proviamo a capire quanto vale il limite $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} + 1$$Avendo spezzato per comodità la frazione contenuta nella nostra "nuova" funzione, vediamo che sostanzialmente il problema si riconduce a calcolare il limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$, che vale $1$ (è un limite notevole, li trovi elencati qui: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html). Quindi $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{f(x)} = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$$proprio come volevamo dimostrare! Fammi sapere se posso esserti utile in qualche altro modo :) Ciao!