Limiti di successioni
Potete aiutarmi a risolvere questi due limiti....li ho svolti seguendo la definizione di limite ma non giungo al risultato dato dal libro a) \lim _{n\to +\infty }\left(\frac{n^2+2n}{n+1\:}\right)=+\infty \: b) \lim _{n\to +\infty }\left(n^2-2n-3\right)=+\infty \: La soluzione dell'esercizio a): (M-2 + \sqrt{4+M^2})/2 La soluzione dell'esercizio b): 1+ \sqrt{4+M}
il 02 Agosto 2016, da Andrea Manisi
Ciao Andrea! Per fare questi esercizi occorre risolvere un'equazione, la quale deriva dalla definizione di limite. Ricordiamo la formula che definisce il limite infinito della successione a_n per $n$ tendente all'infinito:$$ \forall M > 0 \ \exists n_0 > 0 \ \Big | \ n > n_0 \Rightarrow a_n > M$$Questa è essenzialmente la definizione di limite tradizionale (finito, $l \in \mathbb{R}$, per un punto di accumulazione al finito $x_0 \in \mathbb{R}$) che riportiamo qui https://library.weschool.com/lezione/definizione-di-limite-di-una-funzione-spiegazione-e-grafico-7582.html, solo riadattata al caso in questione. Nella pratica, per la successione $a_n$ dobbiamo risolvere la disequazione $ a_n > M $ rispetto ad $n$. Nel due caso, la prima successione è $ a_n = \frac{n^2 + 2n}{n + 1} $, quindi dobbiamo risolvere $$ \frac{n^2 + 2n}{n + 1} > M $$Si tratta di una disequazione fratta, che si possono risolvere abbastanza facilmente seguendo i consigli che riportiamo qui https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html. Se riusciamo a risolverla, o meglio, se la disequazione ha soluzione, significa che, al variare di $M$, possiamo esibire almeno un $n_0$ per il quale vale la disequazione; se la disequazione continua a valere per tutti gli $n > n_0$ (il che succede sicuramente se un intervallo della soluzione non ha limite superiore, cioè del tipo $(b, +\infty)$) allora abbiamo provato che il limite in questione è infinito! Sembra complicato, ma, ripeto, si tratta semplicemente di vedere se una certa disequazione vale da un certo punto in poi o meno. Ciao e buona giornata!