Limiti di successioni

Potete aiutarmi a risolvere questi due limiti....li ho svolti seguendo la definizione di limite ma non giungo al risultato dato dal libro a) \lim _{n\to +\infty }\left(\frac{n^2+2n}{n+1\:}\right)=+\infty \: b) \lim _{n\to +\infty }\left(n^2-2n-3\right)=+\infty \: La soluzione dell'esercizio a): (M-2 + \sqrt{4+M^2})/2 La soluzione dell'esercizio b): 1+ \sqrt{4+M}

il 02 Agosto 2016, da Andrea Manisi

Giovanni Barazzetta il 05 Agosto 2016 ha risposto:

Ciao Andrea! Per fare questi esercizi occorre risolvere un'equazione, la quale deriva dalla definizione di limite. Ricordiamo la formula che definisce il limite infinito della successione a_n per $n$ tendente all'infinito: $\forall M > 0 \ \exists n_0 > 0 \ \Big | \ n > n_0 \Rightarrow a_n > M$ Questa è essenzialmente la definizione di limite tradizionale (finito, $l \in \mathbb{R}$ , per un punto di accumulazione al finito $x_0 \in \mathbb{R}$ ) che riportiamo qui https://library.weschool.com/lezione/definizione-di-limite-di-una-funzione-spiegazione-e-grafico-7582.html, solo riadattata al caso in questione. Nella pratica, per la successione $a_n$ dobbiamo risolvere la disequazione $a_n > M$ rispetto ad $n$ . Nel due caso, la prima successione è $a_n = \frac{n^2 + 2n}{n + 1}$ , quindi dobbiamo risolvere $\frac{n^2 + 2n}{n + 1} > M$ Si tratta di una disequazione fratta, che si possono risolvere abbastanza facilmente seguendo i consigli che riportiamo qui https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html. Se riusciamo a risolverla, o meglio, se la disequazione ha soluzione, significa che, al variare di $M$ , possiamo esibire almeno un $n_0$ per il quale vale la disequazione; se la disequazione continua a valere per tutti gli $n > n_0$ (il che succede sicuramente se un intervallo della soluzione non ha limite superiore, cioè del tipo $(b, +\infty)$ ) allora abbiamo provato che il limite in questione è infinito! Sembra complicato, ma, ripeto, si tratta semplicemente di vedere se una certa disequazione vale da un certo punto in poi o meno. Ciao e buona giornata!