limiti notevoli
salve, avrei bisogno di aiuto nel risolvere il seguente limite lim di x che tende a 0 della funzione 1 - cos (x) fratto ln di (1 + x al quadrato), so che servono due limiti notevoli, ho cercato di mettere in evidenza x quadro al numeratore per ricondurlo al limite notevole della funzione coseno, la stessa cosa ho fatto al denominatore ma non ci riesco, potreste aiutarmi? p.s. :dimenticavo il risultato è 1/2
il 03 Maggio 2015, da stefano stella
Ciao Stefano. Il passaggio algebrico che bisogna fare per capire come funziona questo limite è il seguente: $$\frac{1 - \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)}$$Per prima cosa notiamo che si ha il limite notevole $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$Inoltre, il secondo termine della moltiplicazione è un “parente” del limite notevole $$\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y}$$in cui viene svolta la sostituzione $y = x^2$ (la sostituzione è un procedimento standard nei limiti: vedi https://library.weschool.com/lezione/calcolo-di-limite-con-sostituzione-di-variabile-esercizi-svolti-7060.html ) e viene anche invertito il numeratore con il denominatore. In ogni caso $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} = 1$$e quindi, facendo il prodotto dei due limiti, otteniamo $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$Se c’è qualcosa che non hai capito o se hai altro da chiedermi, fammi sapere :)