Matematica

Ciao Leonardo! Allora, mettiamo subito in chiaro una cosa: il valore assoluto è una scrittura abbreviata, una scorciatoia, per indicare qualcosa di più lungo: infatti, se scrivessimo tutto per filo e per segno, invece di $|x|$ dovremmo scrivere$$ \begin{cases} x & \quad \text{ se } x \geq 0 \\ -x & \quad \text{ se } x < 0 \end{cases}$$Ora, se l'espressione abbreviata $|x|$ è comoda per scrivere equazioni in maniera compatta, in realtà quello che stiamo scrivendo è un piccolo sistema: riscrivere il tutto in questa maniera magari allunga i conti, ma ci evita spiacevoli errori. Per risolvere equazioni razionali con dei moduli dobbiamo unire le tecniche che abbiamo appreso nel contenuto sulle disequazioni irrazionali con quelle tipiche di disequazioni con valori assoluti, che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/valore-assoluto-disequazioni-modulo-esercizi-svolti-risoluzione-13086.html. Altre utili indicazioni sui moduli le puoi trovare qui: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html. Ad esempio, proviamo a risolvere $$\sqrt{4x + 20} \geq |x| + 2$$Questo vuol dire in realtà risolvere$$ \begin{cases} \sqrt{4x + 20} \geq x + 2 & \text{ se } x \geq 0 \\ \sqrt{4x + 20} \geq -x + 2 & \text{ se } x < 0 \end{cases}$$Ciascuna delle due disequazioni porta a un sistema, e quindi perveniamo a $$\begin{cases} 4x + 20 \geq 0 \\ x + 2 < 0 \\ x \geq 0 \end{cases}\!\! \vee\ \ \begin{cases} 4x + 20 \geq (x+2)^2 \\ x + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \!\! \vee\ \ \begin{cases} 4x + 20 \geq 0 \\ -x + 2 < 0 \\ x < 0 \end{cases}\!\! \vee \ \ \begin{cases} 4x + 20 \geq (-x+2)^2 \\ -x + 2 \geq 0 \\ x < 0 \end{cases}$$Se a un primo sguardo tutto ciò può intimidire, non facciamoci spaventare per così poco. Il primo sistema è non ha soluzione, così come il terzo. Il secondo e il quarto sono, rispettivamente, equivalenti ai seguenti sistemi:$$ \begin{cases} 4x + 20 \geq (x+2)^2 \\ x \geq 0 \end{cases}\quad \vee \qquad\begin{cases} 4x + 20 \geq (-x+2)^2 \\ x < 0 \end{cases} $$Con un po' di conti arriviamo alla soluzione $ 4(1-\sqrt{2}) \leq x \leq 4 $. Attenzione che non abbiamo ancora finito: dobbiamo intersecare questa soluzione con le condizioni di esistenza del radicale. Abbiamo $\sqrt{4x + 20}$, che porta alla condizione $x \geq -5$: siccome $4(1-\sqrt{2}) > -5$, la soluzione che abbiamo trovato al passo precedente ci va bene tutta. Ma questo è solo un esempio! Se ne possono trovare di più semplici o di più complicati. Se hai difficoltà con un esercizio in particolare, non esitare a chiedere! Ciao e buona serata :D