moto armonico forzato
dovrei studiare la soluzione del moto armonico forzato (considerando w0 la frequenza dell'oscillatore ed w quella della forza periodica F=cos(wt) applicata ad un sistema oscillante) nel caso particolare in cui b è piccolissimo (smorzamento trascurabile) In particolare sapendo che w0^2=k/m utilizzando il metodo della sostituzione devo ottenere ampiezza Ao e fase iniziale phi .
il 03 Novembre 2015, da Giuseppe Perrotta
Ciao Giuseppe! La domanda che poni ha una risposta un po' complicata :/ La riassumerò per sommi capi: niente conti, ti prego di accettare i risultati per atto di fede (o di farli tu, che sarebbe molto meglio :D). Allora, partiamo dall'equazione differenziale che definisce un oscillatore armonico sforzato:$$ \ddot{x} + \beta \dot{x} + \omega^2 x = \frac{F_0}{m} \cos ( \omega t )$$Qui, $m$ è la massa dell'oscillatore, $F_0$ è la magnitudine della forzante, $\omega_0$ è la pulsazione propria dell'oscillatore, $\omega$ è quella della forzante, $\beta$ è l'attrito ridotto (abbiamo diviso per $m$). La soluzione generale di questa equazione è costituita da una soluzione particolare più la soluzione generica dell'equazione omogenea. Le soluzioni si cercano nel campo complesso, e noi, nel nostro mondo reale, ne vedremo solo la parte reale; la forma che usiamo sarà $x(t) = x_0 \ e^{-i \omega t}$, dove $x_0 \in \mathbb{R}$. L'ampiezza iniziale $A_0$ sarà la norma di questo numero complesso, e la fase $\varphi_0$ verrà data dall'angolo di fase di $x_0$. Mediante un po' di calcoli (cioè sostituendo $x(t)$ nell'equazione, si raggiungono le seguenti espressioni esplicite per $A_0$ e $\phi_0$:##KATEX##\begin{aligned} & A_0 = \frac{F}{\sqrt{m^2 \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right)^2 + \left( \beta \omega \right)^2}} \\ & \tan ( \varphi_0 ) = \frac{\beta \omega}{\omega_0^2 - \omega^2}\end{aligned}##KATEX##Spero di esserti stato utile :D Ciao e buona giornata!