Permutazioni
Potreste dirmi come si risolve questo esercizio? Non sono permutazioni di funzioni. Siano q=(1 2 3 4 5) (3 5 2 1 4) r= (1 2 3 4 5) (2 1 4 3 5) Determinare q^-1. Determinare r^-1 Vi ringrazio
il 07 Gennaio 2016, da Andrea Manisi
Ciao Andrea! Allora, c'è una risposta breve e una risposta un po' più lunga a questa domanda. Se hai familiarità con la nozione di ordine di un elemento di un gruppo, basta notare che $q$ ha ordine $5$ e $r$ ha ordine $2$: siccome quindi $q^5 = \text{Id}$, $q^{-1} = q^4$, e similmente $r^2 = \text{Id} \ \Rightarrow \ r^{-1} = r$. Se invece non sai che cos'è l'ordine di un elemento, beh, armiamoci di santa pazienza e vediamo che cosa vuol dire inverso di una permutazione. $r^{-1}$ è una permutazione che, composta con $r$, fa l'identità. Notiamo che $r$ scambia solo l'$1$ con il $2$ e il $3$ con il $4$, mentre lascia fermo $5$: possiamo quindi dire che $r$ è il prodotto dei due scambi $(1\ 2)$ e $(3 \ 4)$, ossia $r = (1\ 2) (3 \ 4)$. Gli scambi hanno inverso loro stessi, ed è quindi naturale che $r^{-1}$ sia proprio $r$. Il discorso con $q$ è invece un po' più complicato, ma segue un ragionamento analogo: $q$ manda $1$ in $3$, $3$ in $2$, $2$ in $5$ e $4$ di nuovo in $1$; scrivere le permutazioni in quest'ordine, come una specie di catena di scambi, è molto utile per capirne le caratteristiche. Infatti, se scriviamo $q$ in questo modo, cioè $q = ( 1 \ 3 \ 2 \ 5 \ 4 )$, ci accorgiamo bene che applicando $q$ cinque volte di fila riporta tutto alla posizione iniziale: ad esempio, il $2$, applicandogli cinque volte $q$ (ossia facendo $q^5 (2)$), farebbe questo percorso:$$ 2 \to 5 \to 4 \to 1 \to 3 \to 2$$Se facendo $q^5$ ottengo l'identità, è chiaro che l'inverso di $q$ è $q^4$. Spero di che sia tutto chiaro. Se hai altri dubbi, scirvi pure! Ciao e buona serata