Piccolo appunto sulla forma delle onde
Ho un dubbio : le onde a dente di sega , quadre , ecc... sono onde di tipo periodico , oppure posso anche immettere un impulso in una corda e fare in modo che col tempo quest'impulso assumi altre forme?
il 12 Novembre 2015, da Giuseppe Perrotta
Ciao Giuseppe! Allora, qui entriamo in una branca dello studio di funzioni che va sotto il nome di analisi di Fourier. In parole povere, una funzione reale di variabile reale $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ viene scomposta in una sovrapposizione di un numero infinito di funzioni sinusoidali di ampiezza, pulsazione e fase differenti: si tratta di una serie di Fourier. Sotto opportune ipotesi possiamo garantire che una determinata funzione $f$ possa essere scritta come serie di Fourier: si dà il caso che il profilo di un'onda quadra ammetta una scrittura di questo tipo. Per la precisione, un'onda quadra di ampiezza $1$, frequenza $f$ e fase iniziale $0$ ha funzione d'onda che si scrive come$$ \psi (t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin \left( 2\pi (2n - 1)f \ t \right)}{2n -1}$$I primi tre termini della serie sono $\frac{4}{\pi} \sin(2\pi f \ t)$, $\frac{4}{3 \pi} \sin(6 \pi f \ t)$ e $\frac{4}{5 \pi} \sin(10\pi f \ t)$: la loro somma ha già un profilo un po' quadrato! In pratica, si potrebbe pensare di percuotere la stessa corda con frequenze e ampiezze differenti, per produrre la sovrapposizione di questi termini: se ci si riuscisse (il che è difficile, ma non impossibile con l'aiuto di qualche computer e una corda molto molto lunga: non vogliamo che l'onda diventi stazionaria, altrimenti assumerebbe un altro profilo, come suggerito qui https://library.weschool.com/lezione/onde-elettromagnetiche-meccaniche-onda-longitudinale-trasversale-lunghezza-d-onda-14943.html) la corda vibrerebbe con un profilo quadrato!
Otimo ,è proprio quello che cercavo - Giuseppe Perrotta 13 Novembre 2015