Problema geometria analitica segmento parabolico

Ciao Benedetta! Provo a darti qualche consiglio per risolvere questo problema. Per prima cosa devi mostrare che un rettangolo inscritto nel segmento parabolico considerato deve avere i lati paralleli agli assi coordinati (anzi, uno di questi deve per forza giacere sull’asse $x$), e che l’asse della parabola divide a metà i lati paralleli all’asse $x$. Se non sei convinta di questo, un paio di disegni e qualche considerazione geometrica ti aiuteranno :) A questo punto devi assegnare una incognita a una delle dimensioni del rettangolo; la cosa più comoda, secondo me, è chiamare $x$ la lunghezza del lato parallelo all’asse delle ascisse. Successivamente puoi trovare le coordinate dei vertici del rettangolo $C$ e $D$ che si trovano sull’asse delle ascisse (sfrutta le proprietà geometriche che ho detto prima: le coordinate dipendono soltanto dalla quantità $x = \overline{CD}$ e da dove si trova l’asse della parabola) e sostituendole nell’equazione della parabola ottieni le coordinate dei vertici $A$ e $B$ del rettangolo che si trovano sulla parabola (infatti $A$ e $C$ hanno la stessa ascissa, così come $B$ e $D$). Osservando il disegno con attenzione, si vede che si possono interpretare le ordinate $A_y, B_y$ di $A$ e $B$ come le lunghezze dei lati del rettangolo paralleli all’asse $y$, stando attenti però a cambiarne il segno ($A$ e $B$ sono nel quarto quadrante e quindi $A_y$ e $B_y$ saranno per forza negativi, mentre una lunghezza è sempre positiva!). Il perimetro del rettangolo è dato dalla somma dei suoi lati: la formula diventa quindi una cosa del tipo $$ 2p_{ABCD} = x+x - A_y - B_y = 2x - A_y - B_y$$A questo punto si tratta di trovare la $x$ che realizza il massimo perimetro. Per fare questo puoi cercare i punti stazionari della funzione che descrive il perimetro, se sai cosa sono le derivate; altrimenti puoi evitare questo approccio, osservando che la la funzione $2p_{ABCD}$ è rappresentabile come una parabola rivolta verso il basso, che quindi realizza il massimo in corrispondenza del suo vertice. Spero di esserti stato utile, come vedi il procedimento è molto articolato; se hai dubbi scrivimi pure! Un saluto :)

Ciao Michele, grazie mille per il tuo aiuto, mi è stato davvero utile! Ora ho capito tutti i procedimenti e finalmente sono riuscita a risolvere l'esercizio :) - Benedetta Monzino 18 Marzo 2015