Prodotto scalare in R^n e ortogonalità

Allora. Il processo che dici tu è il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: data una collezione di vettori linearmente indipendenti, il processo crea una base ortonormale per lo span dei vettori. L'algoritmo è diviso in due parti: la prima per individuare vettori ortogonali, e la seconda li normalizza. Se ho i vettori $\{ v_1, v_2, \dots, v_N \}$, per costruire vettori via via ortogonali, si fa: $ u_1 = v_1$, $u_2 = v_2 - \langle v_1, v_2 \rangle $, $u_3 = v_3 - \langle v_1, v_3 \rangle - \langle v_2, v_3 \rangle $ e così via. Poi, per normalizzarli, si fa $e_j = \frac{1}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j$. Nel tuo caso hai calcolato solo vettori ortogonali, ma non li hai normalizzati! Poco male, i conti sono facili. Fammi sapere se ti vengono! Ciao e scusa ancora per i simboli :P

Ciao Mattia! Scusaci ma c'è stato un piccolo problema tecnico da parte nostra, e il nostro sito s'è mangiato i simboli di "minore" e "maggiore" ^,..,^** Aveva fame. Nell'interesse di tutti, ri-posto la domanda che avei scritto correttamente qui sotto, editandola un po': $$ $$ Salve, durante lo svolgimento di un esercizio mi sono imbattuto nel seguente dubbio: in $\mathbb{R}^4$ ho due vettori, $u= (1, 1, 1, 1)$ e $v= (1, 0, 1, 0)$, dovrei trovare la base $\mathcal{B}_1$ ortogonale dello span di $\{u , v \}$. Procedendo con l'algoritmo che serve per trovare i vettori che formino la base ortogonale pongo $u_1 = u$, poi trovo $v_1 = v - \frac{\langle v , u_1 \rangle}{\langle u_1 , u_1\rangle} u_1$. Dunque i vettori $u_1 = (1, 1, 1, 1)$ e $v_1= (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ sono una base ortogonale di $\mathcal{B}_1$. Il dubbio è il seguente: perché due o più vettori formino una base ortogonale non deve verificarsi che il prodotto scalare $\langle u_1 , u_1 \rangle = 1$, $\langle v_1 , v_1 \rangle = 1$ e $ \langle u_1 , v_1 \rangle = 0$? Svolgendo i prodotti si verifica solo che il prodotto tra i due vettori è $0$ e quindi sono tra loro ortogonali, ma non risultano ortonormali visto che i primi due prodotti non risultano $1$. O questo metodo di verifica vale solo per i vettori che compongono le matrici ortogonali? grazie in anticipo ;)