Relazioni e diagramma di hasse

Ciao Andrea. Come vedi abbiamo avuto un piccolo problema tecnico e il testo del problema non compare nella tua domanda. Lo riporto qui di seguito per comodità di consultazione:$$ $$Sull’insieme $\mathcal{R} = \{ a, b, c, d, e, f \}$ è assegnata la seguente relazione d’ordine: $$\leq: \quad \{ (x,x) \vert x \in \mathcal{R} \} \cup \{ (a,x) \vert x \in \mathcal{R} \} \cup \{ (b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f) \}$$Tracciare il diagramma di Hasse di $(\mathcal{R}, \leq)$. $$ $$Per prima cosa notiamo che la prima condizione garantisce che la relazione $\leq$ sia riflessiva, condizione essenziale per definire una relazione d’ordine: in un diagramma di Hasse tuttavia questo non viene evidenziato (bisognerebbe tracciare una linea che collega ciascun elemento con sé stesso, ma questo non si fa mai). La condizione $\{ (a,x) \vert x \in \mathcal{R} \}$ significa che $a$ è un minimo per $\mathcal{R}$: nel diagramma di Hasse quindi sarà l’elemento più in basso di tutti. Invece le quattro condizioni $(b, f) , (c, f), (d, f), (e ,f)$ - unite al fatto che vale $(a, f)$ - ci dicono che $f$ è un massimo, e che quindi andrà scritto in alto nel diagramma. Adesso bisogna capire in che modo posizionare gli altri elementi: purtroppo non posso disegnare il diagramma qui, ma proverò a descrivertelo. Come dicevo, l’elemento più in alto è $f$, dal quale partono due collegamenti verso il basso: uno verso $b$ e uno verso $e$. Immediatamente sotto $e$ partono altre due linee verso il basso, una verso $c$ e una verso $d$: il motivo per cui bisogna tracciare queste linee è che valgono le condizioni $(c, e)$ e $(d, e)$. A partire da $b$, $c$ e $d$, a questo punto, si tracciano altre tre linee che congiungono questi elementi con l’ultimo rimasto, cioè $a$. Controllando questo diagramma ci si accorge che valgono tutte le condizioni richieste: fammi sapere se ti torna :) Buona giornata!

in questo esercizio il diagramma di hasse viene esattamente come lo hai descritto tu......però vorrei sapere qual'è la regola generale che devo usare qualora mi capitasse un'altro esercizio simile??? :) - Andrea Manisi 25 Agosto 2015

Non è facile stabilire un metodo per disegnare correttamente un diagramma di Hasse. La prima cosa che faccio, in genere, è cercare di capire quali sono gli elementi che stanno in basso e in alto nel diagramma (per trovare una specie di "bordo" del diagramma) e poi aggiusto le altre relazioni di conseguenza. Il motivo per cui parto dagli elementi che stanno in alto o in basso è che sono facili da individuare: per esempio un elemento che sta in basso nel diagramma è un elemento che non compare mai come secondo elemento in nessuna coppia di elementi in relazione. Nell'esercizio qui sopra $a$ è sicuramente in basso nel diagramma (sta sempre a sinistra nelle coppie elencate) mentre $e$ sicuramente non sta in basso (dato che vale la condizione $(c, e)$ dove compare a destra). In ogni caso, dopo aver tracciato il diagramma, controllo che tutte le relazioni presenti nella consegna siano soddisfatte: per verificare questa cosa guardo se ciascun elemento presente a sinistra nelle relazioni è collegato al suo corrispondente a destra percorrendo le linee del diagramma, rigorosamente dal basso verso l'alto. Spero di essermi spiegato... :) - Michele Ferrari 25 Agosto 2015

Puoi spiegarti meglio?? Non mi è molto chiaro ancora! - Andrea Manisi 25 Agosto 2015

Temo che a questo punto convenga analizzare insieme un altro esercizio di questo tipo, piuttosto che parlare in generale (dato che, come ti ho detto, non è molto fattibile). Con gli esempi si capisce tutto! - Michele Ferrari 25 Agosto 2015

Questo è un altro esercizio che mi occorre fare: "Sull' insieme R={a,b,c,d,e,f,g} è assegnata la seguente relazione d'ordine: <= ={(x,x) | x € R} U {(a,x} | x € R} U {(b,e) , (b,f) , (b,g) , (c,g) , (d,f) , (d,g) , (e,g) , (f,g)} a) Tracciare il diagramma di Hasse di (R,<=)" - Andrea Manisi 25 Agosto 2015