Rettangolo inscritto in un segmento parabolico

Intanto la parabola data ha due punti di contatto con l'asse x (coordinata y=0) ottenuti risolvendo l'equazione di secondo grado ricavata imponendo l'incognita y=0 nell'equazione della parabola. Cosí si ottengono A(-2; 0) e B(4;0). Imponendo poi x=0 nella stessa equazione si ottiene la coordinata del punto di intersezione della parabola con l'asse y, cioè C (0;-8). Si tratta quindi di una parabola con convessità verso l'alto che interseca gli assi cartesiani nei punti indicati. Ora è necessario trovare i punti di intersezione della retta parallela all'asse x con la parabola data tale che la distanza tra i due punti comuni sia la metà della distanza dei due punti dall'asse x (che è poi il valore assoluto della loro coordinata y). I due punti trovati saranno due vertici del rettangolo richiesto, mentre i restanti due saranno le proiezioni dei punti di intersezione ottenuti sull'asse x. Per fare ciò si mette a sistema: 1) la distanza dei due punti di intersezione della parabola con la suddetta parallela all'asse x dall'asse x (ass (y)=d: d da trovare); 2) la parabola data y=x^2-2x-8; 3) la distanza tra i due punti di intersezione della parallela all'asse x con la parabola data uguale alla metà della distanza dei suddetti punti dall'asse x (ass (y)=2 ass (x2-x1). I valore assoluto Ass (y) nel sistema considerato può essere sempre scelto uguale a -y dato che la coordinata y che dobbiamo trovare sarà sicuramente negativa dovendo la parallela dell'asse x intersecare la parabola sotto l'asse x. Per come è fatta la parabola considerata, il valore assoluto ass (x2-x1) possiamo considerarlo sempre positivo, quindi uguale a (x2-x1), se consideriamo x2 il valore della coordinata x dei due vertici del rettangolo disposti più a destra. Risolvendo il sistema proposto si ottengono i vertici del rettangolo richiesti D(x1; 0), E(x2; 0), F(x2;-d) e G(x1;-d), dove x1=1-sqrt (17-sqrt (208)) circa =-0,61; x2=1+sqrt (17-sqrt (208)) circa = 2,61; d=-8+sqrt (208) circa = 6,42. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Se hai ancora qualche dubbio, chiedi pure. Ciao.

Ad integrazione di quanto detto prima: la concavità della parabola (e non la sua convessità) è rivolta verso l'alto. Dalla sua equazione si può dedurre che si tratta di una parabola di vertice V(1;-9) con il proprio asse di simmetria parallelo all'asse y. - Flavio Fabbri 28 Aprile 2014