rette
ciao ragazzi..ho due rette r:x=t ,y=-t, z=2t ed s:x=1+2u, y=1+2u, z=0....dovrebbero essere sghembe e non avere un piano in comune...sbagliato!!!risposta giusta:esiste un piano contenente r ed s ortogonale a vettore(-1,1,1)....perchè?grazie in anticipo
il 12 Giugno 2015, da marco manca
Ciao Marco :) Allora, dal punto di vista teorico il problema si affronta così: due rette nello spazio possono essere incidenti, parallele o sghembe. Nei primi due casi le rette sono complanari (cioè, è sempre possibile trovare un piano che le contenga entrambe) mentre nel terzo caso no. Comunque vada, la cosa più semplice da controllare - in genere - è se le due rette sono incidenti: basta risolvere il sistema che mette a confronto le coordinate dei punti delle rette, descritte in forma parametrica, e sostituire le eventuali soluzioni nelle rette per capire qual è il punto di incidenza. Nel nostro caso il sistema è questo: Dall’ultima equazione si ricava ; questa informazione, sostituita nelle altre equazioni, ci dice che . In corrispondenza di la prima retta fornisce il punto e (coerentemente con quanto ci aspettiamo che succeda) la seconda retta passa per quando . Insomma, le due rette sono incidenti nell’origine! Adesso: come facciamo a capire qual è il piano che le contiene? Notiamo innanzitutto che a partire dalle equazioni in forma parametrica di ciascuna retta si ricava facilmente l’equazione del piano perpendicolare a ciascuna di esse e passante per l’origine. Infatti ha direzione espressa dal vettore $\vec{v_r} = \left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix} \right )$ e (sfruttando un piccolo trucco che si può mostrare con un po’ di conti) il piano ha equazione dove abbiamo ottenuto questa equazione semplicemente moltiplicando e per le rispettive componenti del vettore . Allo stesso modo si ottiene che il piano è Con un ragionamento geometrico (non banalissimo, ma che con un po’ di riflessione puoi sicuramente accettare) l’intersezione tra e è proprio la retta perpendicolare a e (che quindi passa necessariamente per l’origine). La retta è descritta proprio dalle equazioni dei due piani: Dopo alcuni passaggi algebrici (ponendo, per esempio, ) si ottiene questa descrizione parametrica: che mostra come la direzione della retta perpendicolare a e sia data proprio dal vettore $\vec{v_t} = \left ( \begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right )$, come dicevi tu. Sempre per il “trucco” visto prima, il piano che contiene entrambe le rette sarà allora Ecco tutto! Se ci sono dei passaggi poco chiari, fammi sapere, sono a tua disposizione :D
perfetto grazie michele - marco manca 12 Giugno 2015
io vedevo il sistema impossibile valutato in t e -t senza pensare che con t=0 il segno non conta... - marco manca 12 Giugno 2015
Mai sottovalutare lo zero... Anche se non vale niente :D - Michele Ferrari 12 Giugno 2015