rette

Ciao Marco :) Allora, dal punto di vista teorico il problema si affronta così: due rette nello spazio possono essere incidenti, parallele o sghembe. Nei primi due casi le rette sono complanari (cioè, è sempre possibile trovare un piano che le contenga entrambe) mentre nel terzo caso no. Comunque vada, la cosa più semplice da controllare - in genere - è se le due rette sono incidenti: basta risolvere il sistema che mette a confronto le coordinate dei punti delle rette, descritte in forma parametrica, e sostituire le eventuali soluzioni nelle rette per capire qual è il punto di incidenza. Nel nostro caso il sistema è questo: $$\begin{cases} t = 1 + 2u \\ -t = 1 + 2u \\ 2t = 0 \end{cases}$$Dall’ultima equazione si ricava $t=0$; questa informazione, sostituita nelle altre equazioni, ci dice che $u = -\frac{1}{2}$. In corrispondenza di $t=0$ la prima retta fornisce il punto $(0, 0, 0)$ e (coerentemente con quanto ci aspettiamo che succeda) la seconda retta passa per $(0, 0, 0)$ quando $u = -\frac{1}{2}$. Insomma, le due rette sono incidenti nell’origine! Adesso: come facciamo a capire qual è il piano che le contiene? Notiamo innanzitutto che a partire dalle equazioni in forma parametrica di ciascuna retta si ricava facilmente l’equazione del piano perpendicolare a ciascuna di esse e passante per l’origine. Infatti $r$ ha direzione espressa dal vettore $\vec{v_r} = \left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix} \right )$ e (sfruttando un piccolo trucco che si può mostrare con un po’ di conti) il piano $\alpha \perp r$ ha equazione $$x - y + 2z = 0$$dove abbiamo ottenuto questa equazione semplicemente moltiplicando $x, y$ e $z$ per le rispettive componenti del vettore $\vec{v_r}$. Allo stesso modo si ottiene che il piano $\beta \perp s$ è $$2x + 2y = 0$$Con un ragionamento geometrico (non banalissimo, ma che con un po’ di riflessione puoi sicuramente accettare) l’intersezione tra $\alpha$ e $\beta$ è proprio la retta $t$ perpendicolare a $r$ e $s$ (che quindi passa necessariamente per l’origine). La retta $t$ è descritta proprio dalle equazioni dei due piani: $$t : \begin{cases}x - y + 2z = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}$$Dopo alcuni passaggi algebrici (ponendo, per esempio, $y=t$) si ottiene questa descrizione parametrica: $$t: \begin{cases} x = -t \\ y=t \\ z = t \end{cases}$$che mostra come la direzione della retta perpendicolare a $r$ e $s$ sia data proprio dal vettore $\vec{v_t} = \left ( \begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right )$, come dicevi tu. Sempre per il “trucco” visto prima, il piano che contiene entrambe le rette sarà allora $$-x + y + z = 0$$Ecco tutto! Se ci sono dei passaggi poco chiari, fammi sapere, sono a tua disposizione :D

perfetto grazie michele - marco manca 12 Giugno 2015

io vedevo il sistema impossibile valutato in t e -t senza pensare che con t=0 il segno non conta... - marco manca 12 Giugno 2015

Mai sottovalutare lo zero... Anche se non vale niente :D - Michele Ferrari 12 Giugno 2015