rette

ciao ragazzi..ho due rette r:x=t ,y=-t, z=2t ed s:x=1+2u, y=1+2u, z=0....dovrebbero essere sghembe e non avere un piano in comune...sbagliato!!!risposta giusta:esiste un piano contenente r ed s ortogonale a vettore(-1,1,1)....perchè?grazie in anticipo


il 12 Giugno 2015, da marco manca

Michele Ferrari il 12 Giugno 2015 ha risposto:

Ciao Marco :) Allora, dal punto di vista teorico il problema si affronta così: due rette nello spazio possono essere incidenti, parallele o sghembe. Nei primi due casi le rette sono complanari (cioè, è sempre possibile trovare un piano che le contenga entrambe) mentre nel terzo caso no. Comunque vada, la cosa più semplice da controllare - in genere - è se le due rette sono incidenti: basta risolvere il sistema che mette a confronto le coordinate dei punti delle rette, descritte in forma parametrica, e sostituire le eventuali soluzioni nelle rette per capire qual è il punto di incidenza. Nel nostro caso il sistema è questo: {t=1+2ut=1+2u2t=0\begin{cases} t = 1 + 2u \\ -t = 1 + 2u \\ 2t = 0 \end{cases}Dall’ultima equazione si ricava t=0t=0; questa informazione, sostituita nelle altre equazioni, ci dice che u=12u = -\frac{1}{2}. In corrispondenza di t=0t=0 la prima retta fornisce il punto (0,0,0)(0, 0, 0) e (coerentemente con quanto ci aspettiamo che succeda) la seconda retta passa per (0,0,0)(0, 0, 0) quando u=12u = -\frac{1}{2}. Insomma, le due rette sono incidenti nell’origine! Adesso: come facciamo a capire qual è il piano che le contiene? Notiamo innanzitutto che a partire dalle equazioni in forma parametrica di ciascuna retta si ricava facilmente l’equazione del piano perpendicolare a ciascuna di esse e passante per l’origine. Infatti rr ha direzione espressa dal vettore $\vec{v_r} = \left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix} \right )$ e (sfruttando un piccolo trucco che si può mostrare con un po’ di conti) il piano αr\alpha \perp r ha equazione xy+2z=0x - y + 2z = 0dove abbiamo ottenuto questa equazione semplicemente moltiplicando x,yx, y e zz per le rispettive componenti del vettore vr\vec{v_r}. Allo stesso modo si ottiene che il piano βs\beta \perp s è 2x+2y=02x + 2y = 0Con un ragionamento geometrico (non banalissimo, ma che con un po’ di riflessione puoi sicuramente accettare) l’intersezione tra α\alpha e β\beta è proprio la retta tt perpendicolare a rr e ss (che quindi passa necessariamente per l’origine). La retta tt è descritta proprio dalle equazioni dei due piani: t:{xy+2z=02x+2y=0t : \begin{cases}x - y + 2z = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases}Dopo alcuni passaggi algebrici (ponendo, per esempio, y=ty=t) si ottiene questa descrizione parametrica: t:{x=ty=tz=tt: \begin{cases} x = -t \\ y=t \\ z = t \end{cases}che mostra come la direzione della retta perpendicolare a rr e ss sia data proprio dal vettore $\vec{v_t} = \left ( \begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right )$, come dicevi tu. Sempre per il “trucco” visto prima, il piano che contiene entrambe le rette sarà allora x+y+z=0-x + y + z = 0Ecco tutto! Se ci sono dei passaggi poco chiari, fammi sapere, sono a tua disposizione :D


perfetto grazie michele - marco manca 12 Giugno 2015

io vedevo il sistema impossibile valutato in t e -t senza pensare che con t=0 il segno non conta... - marco manca 12 Giugno 2015

Mai sottovalutare lo zero... Anche se non vale niente :D - Michele Ferrari 12 Giugno 2015