Semplificare una congruenza
7x = 2 (mod 8) 5x = 4 (mod 7) Vorrei sapere il metodo preciso per semplificare queste congruenze!
il 02 Ottobre 2015, da Andrea Manisi
Ciao Andrea. Dato che in entrambe le equazioni i coefficienti davanti alla $x$ sono primi con il numero rispetto al quale stiamo ragionando in modulo (cioè, $7$ è primo con $8$ e $5$ è primo con $7$) siamo autorizzati ad adottare la seguente idea: dobbiamo cercare il numero tale per cui la moltiplicazione di questo numero per il coefficiente della $x$ sia congrua a $1$. Prendiamo per esempio la prima equazione: $7x \equiv 2 \text{ mod }8$. Il coefficiente della $x$ è $7$: andando per tentativi (cioè, moltiplicando $7$ per tutti i numeri tra $1$ e $7$) ci accorgiamo che il famoso numero che stiamo cercando è proprio $7$ stesso, dato che $$7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \text{ mod }8$$In questo modo, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per $7$, otteniamo: $$x \equiv 14 \text{ mod }8 \quad \Rightarrow \quad x \equiv 6 \text{ mod }8$$La seconda equazione si svolge nello stesso modo, ottenendo la soluzione $x \equiv 5 \text{ mod }7$. Buono studio :)
Non ho capito bene questo metodo....me lo puoi spiegare dettagliatamente??? - Andrea Manisi 02 Ottobre 2015
Purtroppo non c'è altro da spiegare. Si tratta di procedere per tentativi e di fare un po' di moltiplicazioni, per cercare il numero che fa al caso tuo. Rileggi attentamente quello che ho scritto e mettiti con pazienza a risolvere gli esercizi, e vedrai che è più semplice di quello che sembra. :) - Michele Ferrari 02 Ottobre 2015