Semplificare una congruenza

7x = 2 (mod 8) 5x = 4 (mod 7) Vorrei sapere il metodo preciso per semplificare queste congruenze!

il 02 Ottobre 2015, da Andrea Manisi

Michele Ferrari il 02 Ottobre 2015 ha risposto:

Ciao Andrea. Dato che in entrambe le equazioni i coefficienti davanti alla $x$ sono primi con il numero rispetto al quale stiamo ragionando in modulo (cioè, $7$ è primo con $8$ e $5$ è primo con $7$ ) siamo autorizzati ad adottare la seguente idea: dobbiamo cercare il numero tale per cui la moltiplicazione di questo numero per il coefficiente della $x$ sia congrua a $1$ . Prendiamo per esempio la prima equazione: $7x \equiv 2 \text{ mod }8$ . Il coefficiente della $x$ è $7$ : andando per tentativi (cioè, moltiplicando $7$ per tutti i numeri tra $1$ e $7$ ) ci accorgiamo che il famoso numero che stiamo cercando è proprio $7$ stesso, dato che $7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \text{ mod }8$ In questo modo, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per $7$ , otteniamo: $x \equiv 14 \text{ mod }8 \quad \Rightarrow \quad x \equiv 6 \text{ mod }8$ La seconda equazione si svolge nello stesso modo, ottenendo la soluzione $x \equiv 5 \text{ mod }7$ . Buono studio :)

Non ho capito bene questo metodo....me lo puoi spiegare dettagliatamente??? - Andrea Manisi 02 Ottobre 2015

Purtroppo non c'è altro da spiegare. Si tratta di procedere per tentativi e di fare un po' di moltiplicazioni, per cercare il numero che fa al caso tuo. Rileggi attentamente quello che ho scritto e mettiti con pazienza a risolvere gli esercizi, e vedrai che è più semplice di quello che sembra. :) - Michele Ferrari 02 Ottobre 2015