Sistemi di congruenze lineari

Ciao Andrea. Prendiamo il sistema di congruenze che hai proposto:$$\begin{cases} 3x \equiv 2 \quad (\text{mod }5) \\ 2x \equiv 14 \quad (\text{mod }6) \end{cases}$$Prendiamo la prima congruenza. Moltiplicando entrambi i termini per $2$, otteniamo $6x \equiv 4 (\text{mod }5)$; siccome $6 \equiv 1 (\text{mod }5)$ allora la prima equazione può essere riscritta così: $$3x \equiv 2 \ (\text{mod }5) \quad \Leftrightarrow \quad x \equiv 4 \ (\text{mod }5)$$La seconda congruenza può essere riscritta in questo modo: $$2x = 14 + 6z, \qquad z \in \mathbb{Z}$$Dividendo entrambi i membri per due otteniamo un’altra equazione del tutto equivalente alla prima: $$x = 7 + 3z, \ z \in \mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x \equiv 7 (\text{mod }3)$$In conclusione il sistema da cui siamo partiti è diventato il seguente:$$\begin{cases} x \equiv 4 \quad (\text{mod }5) \\ x \equiv 7 \quad (\text{mod }3) \end{cases}$$Siamo nella situazione giusta per poter applicare il Teorema cinese dei resti, dato che $3$ e $5$ sono primi fra loro. Cerchiamo allora una soluzione particolare del nostro sistema, andando per tentativi: dopo un po’ di ragionamento ci accorgiamo che $x=19$ va bene per noi, dato che l’operazione $19 : 5$ ha resto $4$ e che l’operazione $19 : 3$ ha resto $1$ (cioè, $19 \equiv 4 (\text{mod }5)$ e $19 \equiv 7 (\text{mod }3)$). Grazie a questa osservazione e al teorema citato prima possiamo dire che la soluzione generale del sistema ha questa forma: $$x = 19 + (3 \cdot 5)h = 19 + 15h, \qquad h \in \mathbb{Z}$$In realtà possiamo riscriverla in questo modo un po’ più carino, dato che $19 = 15 + 4$: $$x = 4 + 15h, \qquad h \in \mathbb{Z}$$Se c’è qualche passaggio che non ti è chiaro fammi sapere!

Sei stato chiarissimo grazie!!! :) - Andrea Manisi 08 Settembre 2015

Perdonami, ma non ho capito bene come si semplifica una congruenza lineare! Puoi rispiegarmela? - Andrea Manisi 08 Settembre 2015

Ti ho spiegato tutto nell'esercizio (assolutamente analogo) che mi hai proposto qui: https://library.weschool.com/domanda/sistemi-di-congruenza-lineari-15192.html. Spero sia tutto chiaro! - Michele Ferrari 08 Settembre 2015