Sistemi di equazioni (con Matrici)
ho un sistema formato da: 1: (k+2)x + 2ky-z=1, 2: x-2y+kz=-k, 3: y+z=k. Utilizzando la matrice A 3x3 e la matrice b 3x1x (con i termini noti), devo discutere il sistema al variare di k. Prima di tutto calcolo il determinante di A e vedo per quali valori di K esso è =0. K risulta -5 e -1. Ora studio per k=-5 calcolo il determinante della matrice che risulta zero all'ora lo faccio per una sottomatrice e risulta un numero quindi rango = 2. Ora devo farlo per la matrice A|b ma non capisco come devo sostituire la colonna della matrice b in A. Devo aggiungerla a destra ed eliminare una colonna a scelta provando per tutte e 3 le alternative se qualcuna mi da un determinante diverso da zero? vorrei che mi venisse spiegato dettagliatamente questo passaggio per il calcolo del rango di Ab. Grazie
il 01 Settembre 2016, da Filippo B
Ciao Filippo! Il rango di una matrice può essere calcolato come la dimensione più grande che riusciamo a trovare per un minore che abbia determinante non nullo. Siccome la matrice orlata $\left[ A\ \lvert \ b\ \! \right]$ è $3 \times 4$, può avere al massimo rango $3$: dobbiamo trovare almeno un minore $3 \times 3$ con determinante non nullo... Quindi sì, dobbiamo provare i minori sinché non ne troviamo uno che va bene. Se non c'è, cioè se tutti i minori $3 \times 3$ hanno determinante pari a zero, il rango di $\left[ A\ \lvert \ b\ \! \right]$ è $2$, perché già solo in $A$ abbiamo trovato un minore $2\times 2$ non singolare. Solo in questo caso avremo un sistema risolubile, con un infinità di soluzioni determinate da $3 -2 = 1$ parametro (che di solito si dice "$\infty^1$ soluzioni"); se il rango della matrice orlata risulta diverso da quella non orlata abbiamo un problema, perché ci sono troppe "condizioni" per il nostro sistema. Attenzione che tutto questo dipende da un parametro, quindi fai molta attenzione quando fai i calcoli. Spero che sia tutto chiaro: se hai qualsiasi dubbio, chiedi pure! Ciao e buona giornata.