Sistemi Lineari
Salve, sono di nuovo io. vorrei avere un riscontro su un esercizio da tema d'esame appena svolto e capire se sono andato nella giusta direzione con lo svolgimento: il testo è il seguente: Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = (x,y,z) e il vettore delle incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: A=(2h 6 4/ 3 h 2/ 2h+3 h+6 6), B=( 8 / 4 / h^2 -3h +12) ho scritto i vari sistemi per righe, lo slash indica la separazione tra le righe. (a) Determinare il rango di A al variare di h: (b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c) Determinare per quali valori di h la varietà lineare delle soluzioni del sistema ha dimensione 2: (d) Posto h = 0, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni: 1) svolgendo i vari calcoli ho cercato di trovare il rango della matrice A, cercando per quali valori h il rango è massimo ( il determinante del minore 3x3 è diverso da 0) e per quali invece è 0. per i valori di h per i quali il determinante risulta uguale a 0, ho creato le matrici con il rispettivo valore di h sostituendolo e calcolandone il rango, risultato: rango è 2 se h è diverso da 3, rango è 1 se h uguale a 3. 2) per trovare le soluzioni del sistema non omogeneo so per il teorema di Rouchè-Capelli che devo trovare soluzioni comuni tra il rango della matrice A e quello della matrice completa, infatti per la matrice completa vale: rango uguale a 3 se h diverso da 0 e 3, rango uguale a 2 se h uguale a 0 e rango uguale a 1 se h uguale a 3. dunque il sistema ammette sol per 0 e 3. 3) la dimensione delle sol è 2 quando n-rk(a) è 2, ovvero per h uguale a 3; 4) ho considerato il sistema omogeneo AX=0 , ho controllato il rango e risulta uguale a 2, dunque ho trovato un minore 2x2 che formasse un sistema formato dai termini a sinistra come p equazioni indipendenti e quelli a destra parametri, dunque verrebbe fuori un sistema = 6y = 4z e 3x= 2z, da dove ottengo che x=y = 2/3 z, assumo z come parametro e ottengo x=2/3 a; y= 2/3a; z=a. grazie in anticipo ;)
il 28 Maggio 2015, da Mattia Mangia
Ciao Mattia! Hai fatto tutto giusto, tranne l'espressione parametrica della soluzione: ti sei dimenticato di mettere il vettore $B$! Il sistema infatti, per $ h = 0 $, si riduce a: $$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 6 \end{array} \right) \cdot \left( ##KATEX##\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}##KATEX##\right) = \left( ##KATEX##\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 12 \end{array}##KATEX##\right)$$ Tu hai risolto quello omogeneo ed espresso una soluzione di quello omogeneo, che ti dà la direzione della retta che rappresenta la soluzione, ma niente altro. Svolgendo i conti, una soluzione parametrica quindi è $$ \left( ##KATEX##\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}##KATEX##\right) = \left( ##KATEX##\begin{array}{c} \frac{2}{3} \alpha \\ \frac{2}{3} \alpha \\ \alpha \end{array}##KATEX##\right) + \left( ##KATEX##\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{array}##KATEX##\right) $$ Fammi sapere se tornano i conti anche a te :3
sisi è vero, a me vengon fuori entrambi 4/3, infatti la domanda che avrei voluto fare successivamente sarebbe proprio riguardata il ruolo di B nella soluzione, perchè tra i vari esercizi io avevo notato la separazione tra il metodo per trovare solo la soluzione del sistema omogeneo alla quale successivamente si aggiungeva il vettore B, portando i parametri precedenti uguali a 0, quindi appunto 6y =8 e 3x = 4, dunque y= 4/3 e x= 4/3. poi avrei aggiunto la soluzione particolare alla parametrica e sarebbe saltato fuori x=2/3 a +4/3 y= 2/3 a +4/3 e z= a. Grazie mille per la risposta comunque ;) - Mattia Mangia 28 Maggio 2015
Hai perfettamente ragione, la soluzione è proprio $$ \alpha \cdot \left( \begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{array}\right) $$ avevo sbagliato a fare i conti, sorry! ^__^ ** eh, anche se siamo supereroi siamo umani e possiamo sbagliare. Il metodo generale per trovare una soluzione di un sistema non omogeneo comunque è: a) trovo la soluzione del sistema omogeneo associato b) trovo una soluzione particolare del sistema c) le sommo. Al punto b) puoi procedere un po' come ti pare: va benissimo porre il parametro uguale a zero, risparmi un sacco di conti; ma potresti mettere anche $\alpha = 3450$ e la soluzione rimarrebbe la stessa. Infatti la soluzione, come detto dall'esercizio, è una varietà lineare: per descriverla ci servono i vettori che generano lo spazio direttore (che per noi è uno solo, $ \left( \begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}\right) $), e un punto che funge da origine (che abbiamo posto $ \left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{array}\right)$)--se cambio l'origine, la descrizione cambia, ma la varietà lineare è sempre la stessa! - Giovanni Barazzetta 28 Maggio 2015