Sistemi Lineari

Ciao Giuseppe! Allora, il punto d) ci chiede di esprimere in forma parametrica la soluzione di un caso particolare dei punti precedenti. Il caso particolare corrisponde al seguente sistema:$$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 6 \end{array} \right) \cdot \left( ##KATEX##\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}##KATEX##\right) = \left( ##KATEX##\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 12 \end{array}##KATEX##\right) \ \Rightarrow \ ##KATEX##\begin{cases} & 6y & + 4z & = 8 \\ 3x & & + 2z & = 4 \\ 3x & + 6y & 6z & = 12 \end{cases}##KATEX##$$Si tratta di un sistema lineare non omogeneo. Per prima cosa, dobbiamo controllare la dimensione della soluzione: il rango della matrice $A$, nel caso in cui $h=0$, è $2$, mentre io ho una matrice di dimensione $3$. Di conseguenza, le soluzioni possibili al sistema sono $\infty^1$, cioè una infinità di punti (cioè terne $(x,y,z)$) messi su una retta. Una retta si descrive mediante una direzione (indicata da un vettore $\vec{v}$) e un punto da cui questa retta passa (indicata con $P_0$): detto questo, possiamo dire che i punti $P$ della retta sono descritti dall'equazione$$ P =P (\alpha) = \alpha \vec{v} + P_0 $$ La direzione $vec{v}$ la troviamo risolvendo il sistema omogeneo, con il sistema che ritieni più opportuno, mentre il punto $P_0$ lo troviamo "ah hoc" risolvendo il sistema non omogeneo. Nella soluzione proposta, la direzione è data dal vettore $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$, mentre il punto $P_0$ ha coordinate $\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0 \right)$: di conseguenza, tutte le soluzioni del sistema possono scriversi nella forma parametrica$$ P (\alpha) = \alpha \cdot \left( ##KATEX##\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}##KATEX## \right) + \left( ##KATEX##\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{array}##KATEX## \right)$$Naturalmente, essendo un sistema lineare, la soluzione può essere riscalata di un parametro moltiplicativo; oppure ancora, scegliendo un diverso minore $2 \times 2$ per risolvere il sistema omogeneo, si potrebbe arrivare ad un altro vettore: l'importante è che le componenti diverse siano proporzionali tra loro (con la stessa proporzione...). Fammi sapere se i tuoi conti ti fanno arrivare alla stessa soluzione o se la riesci ad esprimere in qualche altra forma! E naturalmente, se hai dubbi o domande, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata!