Spazi vettoriali e applicazioni lineari

Buongiorno :) Per prima cosa vorrei fare un discorso generale sul primo esercizio, cercando di rispondere a tutti i tuoi dubbi. $$ $$In generale, un’equazione lineare in $\mathbb{R}^n$ definisce un sottospazio affine di dimensione $n-1$ in $\mathbb{R}^n$ (detto $\text{iperpiano}$). In $\mathbb{R}^3$ questo è quindi un sottospazio di dimensione $2$ (cioè un piano): questo significa che l’equazione $$x - 2y + z = 0$$ definisce un sottospazio generato da $2$ vettori linearmente indipendenti (cioè ammette una base di dimensione $2$). Avendo in mente questo, possiamo rispondere facilmente alle domande B, C e D. Come da te notato, infatti, i vettori in B e in C sono linearmente dipendenti (il vettore $\underline{0}$ è sempre dipendente da qualsiasi vettore) e sicuramente non possono formare una base, ma anche se fossero linearmente indipendenti sarebbero comunque troppi per fare una base del nostro piano, che ha dimensione $2$. Per il punto D bisogna essere cauti: un conto è dire che un vettore è un generatore del sottospazio, un conto è invece dire che lo genera. Nel primo caso si sottointende che i generatori possono essere anche di più di uno, mentre nel secondo caso sembra che l’intero sottospazio $V$ sia generato dal solo vettore considerato. Quindi la mia risposta alla domanda D sarebbe “No”, perché $V$ ha bisogno di almeno due vettori che lo generino! Veniamo invece al punto A. Il metodo che hai adottato tu per verificare che $\left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right ), \left ( \begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix} \right )$ sono generatori va bene in questo caso, ma non funziona quando l’equazione che definisce il piano ha termine noto diverso da zero. Per esempio, seguendo il tuo ragionamento, il piano $$\pi: \ x+y+z = 1$$sembrerebbe essere generato dai vettori $\left ( \begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix} \right ), \left ( \begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix} \right ), \left ( \begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix} \right )$ dato che tutte queste terne soddisfano l’equazione che descrive $\pi$, ma è chiaro che questo non è possibile (i tre vettori generano tutto $\mathbb{R}^3$). Piuttosto suggerisco questo metodo, che funziona sempre: conviene scrivere il piano in forma parametrica, prendere i vettori costituiti dai coefficienti di ciascun parametro e controllare se i vettori forniti nell’esercizio possono essere ottenuti come combinazione lineare di questi. Nell’esercizio che devi affrontare si vede abbastanza facilmente che il piano ha equazioni parametriche $$\begin{cases} x = 2s - t \\ y = s \\ z = t \end{cases}$$e che quindi una base di $V$ è la coppia di vettori $$v_1 = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ), \qquad v_2 = \left ( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right )$$I vettori forniti dal testo dell’esercizio sono rispettivamente $v_1 + v_2$ e $v_1 + 2v_2$; siccome sono anche linearmente indipendenti, allora essi sono sicuramente una base di $V$. $$ $$Per quanto riguarda il secondo esercizio il tuo ragionamento va bene, ma io procederei utilizzando direttamente il teorema di nullità più rango. Nel nostro caso il teorema ci dice che $$3 = \text{dim}(Im(L)) + \text{dim}(Ker(L))$$e, riordinando l’equazione, otteniamo $$\text{dim}(Im(L)) = 3 - \text{dim}(Ker(L))$$Dato che la dimensione del nucleo di un’applicazione è sempre minore o uguale alla dimensione dello spazio di partenza (visto che il nucleo è un sottospazio dello spazio vettoriale di partenza), allora dalla relazione precedente otteniamo subito che l’immagine può avere dimensione al massimo $3$ (quando il nucleo è solo il vettore nullo) ma anche dimensione $0$ (quando il nucleo è tutto lo spazio di partenza, ovvero, tutto lo spazio di partenza viene “schiacciato” nello zero dello spazio di arrivo). Quindi $m$ può essere $1, 2$ o $3$ come dici tu, o anche $0$ come “caso limite” (definendo un po’ forzatamente $\mathbb{R}^0$ come un solo punto).$$ $$Questo è quanto, ho cercato di darti anche qualche spunto di riflessione: se vuoi maggiori dettagli sai dove trovarmi :D

Perfetto ti ringrazio, come sempre risposte molto dettagliate e soddisfacenti. :D - Mattia Mangia 17 Giugno 2015