TRASPORTO DI UN FATTORE DENTRO IL SEGNO DI RADICE E DISCUSSIONE

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http://www.skuola.net/datas/users/att_7611.jpg scusatemi ho avuto un problema con l'invio del link

Ciao Andrea, in effetti l’argomento di cui parli è molto delicato e spesso fonte di confusione. In generale il procedimento si può dividere in questi passaggi: 1) individuare eventuali C.E.; 2) trasportare i fattori sotto il segno, “bilanciando” l’equazione; 3) intersecare le “condizioni di bilanciamento” con le C.E. e fornire la soluzione. Voglio provare a risponderti con un esempio guidato per farti capire tutti i passaggi. Supponiamo di voler lavorare sull’espressione $(x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}.$ 1) Sotto radice abbiamo $\frac{x-2}{x+3}$; l’indice della radice è pari, dunque abbiamo delle C.E. da imporre, che sono $\frac{x-2}{x+3} \geq 0$. Risolvendo (prova per esercizio), le C.E. risultano $x < -3 \vee x \geq 2.$ 2) Vorremmo portare sotto radice $(x+3)$. In prima battuta, verrebbe da scrivere che $(x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} = \sqrt{\frac{(x-2)(x+3)^2}{x+3}} = \sqrt{(x-2)(x+3)}.$ Questo sarebbe un errore, poichè il termine $\sqrt{(x-2)(x+3)}$ è SEMPRE positivo (è una radice quadrata!), mentre il termine $(x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ non lo è in generale. Infatti $x < - 3 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}<0$ dato che, in questo caso $x+3 e quindi il prodotto$(x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$dà una quantità negativa (visto che anche$\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ è sempre positivo). Invece, $x \geq - 3 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} \geq 0.$ Quindi, tralasciando volutamente per ora le C.E. per maggiore chiarezza, abbiamo: $x \geq - 3 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} = \sqrt{(x-2)(x+3)}$ mentre $x < - 3 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} = - \sqrt{(x-2)(x+3)}.$ Quel “meno” è stato aggiunto per “bilanciare” i segni dell’equazione, che altrimenti risulterebbe falsa. Fortunatamente, il bilanciamento è solo un problema di segni, e non di altro; quindi qui si conclude questo processo.$$ 3) Le “condizioni di bilanciamento” non sono coerenti con le C.E. e occorre intersecarle con esse. La condizione $x < - 3$, intersecata con $x < -3 \vee x \geq 2$, dà nuovamente $x < -3$. Invece, la condizione $x \geq -3$, sempre intersecata con $x < -3 \vee x \geq 2$, dà $x \geq 2$. Quindi in conclusione $x \geq 2 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} = \sqrt{(x-2)(x+3)}$ e $x < -3 \qquad \Rightarrow \qquad (x+3)\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} = - \sqrt{(x-2)(x+3)}.$ Spero di aver chiarito: prova a fare gli esercizi che hai seguendo questo ragionamento. Se hai altro da chiedere dimmi pure :) ciao!

Grazie mille!! Ma nel caso in cui la radice fosse cubica? come dovrei fare? - Andrea camozzi 28 Gennaio 2015

In quel caso non ci sarebbero C.E. (come per nessuna radice di indice dispari) e quindi il punto 1 è di fatto da saltare. Rimane quindi solamente il punto 2 da svolgere, seguendo le regole di bilanciamento dei segni. Purtroppo i passaggi algebrici di ogni esercizio sono molto a sé, ed è difficile generalizzare; ma ragionando con calma si arriva sempre alla conclusione corretta ;) - Michele Ferrari 28 Gennaio 2015

Grazie millee!!! - Andrea camozzi 28 Gennaio 2015