Analisi 2: minimo e massimo assoluti

Ciao Giampaolo! Per prima cosa, lasciami scrivere la funzione in "bella grafia":$$f(x, y) = \left(2 - x^2y^2 \right) \ e^{\frac{x^2+y^2}{2}}$$inoltre, chiamo $D$ il cerchio unitario. Sappiamo che una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo assoluti: $f$ è continua, $D$ è compatto, quindi la richiesta ha un senso! Notiamo però che $D$ ha bordo: dobbiamo suddividere la nostra indagine in due, quindi. Sull'interno $\dot{D} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 < 1 \}$ possiamo usare le tecniche standard per l'ottimizzazione (libera) e successivamente richiedere che i punti che troviamo abbiano norma minore di uno: puoi trovare un riassunto del procedimento qui https://library.weschool.com/lezione/matrice-hessiana-laplaciano-teorema-di-schwarz-hessiano-punto-di-sella-15704.html. Sul bordo $\partial D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1 \}$, invece, dobbiamo usare l'ottimizzazione vincolata, ed usare i moltiplicatori di Lagrange: ne diamo un riassunto qui https://library.weschool.com/lezione/ottimizzazione-vincolata-moltiplicatori-di-lagrange-massimi-e-minimi-vincolati-15776.html. Poi dobbiamo ricordare la definizione di punto di massimo o punto di minimo: $P$ è di massimo per $f$ su $D$ se $f(P) \geq f(Q) \ \forall Q \in D$. I metodi usati ai due punti precedenti (ottimizzazione libera e vincolata) "dialogano" male: se, ad esempio, l'hessiana ci dice che un certo tal punto $P_1$ è un minimo locale in $\dot{D}$, e i moltiplicatori di Lagrange indicano un altro punto $P_2$ come minimo vincolato a $\partial D$, l'unico modo per stabilire se il punto di minimo sia $P_1$ o $P_2$ è calcolare $f(P_1)$ ed $f(P_2)$ e vedere quale dei due sia più piccolo, ossia se $f(P_1) < f(P_2)$ o viceversa. Un po' laborioso, ma funziona! Troviamo che i punti $(\pm 1;0)$, $(0; \pm1)$ sono di massimo (assoluto su $D$) e il punto $(0;0)$ è di minimo (assoluto su $D$). Se non ti tornano i conti, o il procedimento non è chiaro, non esitare a chiedere! Ciao e buona serata :3

Non riesco a risolvere il sistema delle derivate parziali per trovare i punti critici. Potresti aiutarmi con i calcoli? - Giampaolo Casolla 06 Febbraio 2016