applicazioni lineari

Ciao Marco! Le applicazioni lineari sono applicazioni (ma dai?) che mandano vettori in vettori, e che, soprattutto, mantengono le operazioni di somma vettoriale e prodotto tra uno scalare e un vettore. Quello che occorre controllare è dunque che $$ \begin{array}{ll} f( \vec{v} + \vec{w}) = f(\vec{v}) + f(\vec{w}) \\ f(a \cdot \vec{v}) = a \cdot f(\vec{v}) \end{array} $$ comunque si scelgano i vettori $\vec{v}, \vec{w}$ e lo scalare $a$. Nel tuo caso, la funzione $f$ ha de problemi sia con la somma sia col prodotto. Prendiamo i due vettori di $\mathbb{R}^4$ $\vec{v} = ( x , y , z , t )$ e $\vec{v}' = ( x' , y' , z' , t' )$ vediamo che i risultati delle due operazioni $f( \vec{v} + \vec{w})$ e $f(\vec{v}) + f(\vec{w})$ sono diversi: facendo la prima otteniamo $f( \vec{v} + \vec{v}' ) = \left(\begin{array}{c} x+x' -1 \\ z+z'\end{array}\right)$, mentre con la seconda operazione otteniamo $f(\vec{v}) + f(\vec{w}) = \left(\begin{array}{c} x \\ z \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} x' -1 \\ z'\end{array}\right)$ $= \left(\begin{array}{c} x+x'-2 \\ z + z'\end{array}\right)$. Questo basta a provare che l'applicazione non è lineare. Ma se vuoi andare a fondo, potresti provare a verificare che $f(a \cdot \vec{v}) \neq a \cdot f(\vec{v})$. Ricorda che, siccome per essere lineare occorre verificare entrambe le condizioni di cui sopra, per non essere lineare basta che non ne sia verificata soltanto una! Buon divertimento coi vettori :D

perfetto ora è più chiaro grazie giovanni - marco manca 05 Giugno 2015

dovrebbe mancare un -1 per arrivare a -2 ma ho capito il procedimento - marco manca 05 Giugno 2015

Eh già ^,..,^** nella foga di rispondere alle domande mi mangio i $-1$. L'equazione corretta è $f(\vec{v}) + f(\vec{w}) = \left(\begin{array}{c} x-1 \\ z \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} x' -1 \\ z'\end{array} \right)$ $= \left( \begin{array}{c} x+x'-2 \\ z + z'\end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c} x+x'-1 \\ z + z'\end{array} \right)$. L'importante è aver capito il procedimento, quindi sei sulla buona strada :D - Giovanni Barazzetta 05 Giugno 2015