Calcolo dei limiti (forme indeterminate)
Ancora dubbi sui limiti. Questa volta l'esercizio che non riesco a risolvere è il seguente: lim con X --> 3/2Pigreco di [(1+senx)tg alla seconda di X] Grazie a tutti quelli che cercheranno di darmi una mano. (il risultato finale dev'essere: 1/2)
il 15 Novembre 2015, da Diana Istrate
Ciao Diana. Riscrivo qui il limite per chiarezza: $$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} (1+\sin x) \tan^2x $$Per risolvere questo limite non serve altro che un po' di dimestichezza con le identità trigonometriche (spiegate qui: https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html). Infatti possiamo riscrivere la funzione di cui stiamo studiando il limite in questo modo: ##KATEX##\begin{aligned} (1+\sin x) \tan^2x & = (1+\sin x) \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{(1+\sin x)\sin^2x}{1 - \sin^2x} = \\ & = \frac{(1+\sin x)\sin^2x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} = \frac{\sin^2x}{1-\sin x} \end{aligned}##KATEX##dove nel procedimento qui sopra ho utilizzato l'identità fondamentale delle funzioni trigonometriche e il prodotto notevole "somma per differenza" (spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/prodotti-notevoli-somma-differenza-cubi-cubo-binomio-quadrato-trinomio-3197.html). A questo punto il nostro limite diventa facile, dato che la funzione così ottenuta è continua in $\frac{3\pi}{2}$: $$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \frac{\sin^2x}{1-\sin x} = \frac{(-1)^2}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$$Spero di averti detto tutto quello che ti serve! Sappi comunque che situazioni come questa (limiti che per essere risolti hanno bisogno di qualche "trucchetto") sono molto frequenti in presenza di funzioni trigonometriche: tienilo a mente per i prossimi esercizi :) a presto!
Ti ringrazio ! è stato tutto veramente molto chiaro! - Diana Istrate 16 Novembre 2015